Lineares Gleichungssystem (I) ax + by = a, (II) bx - ay = b

Question

ich weiß nicht wie ich folgende Aufgabe lösen soll:

 

Könnte mir dort jemand ein paar Tipps geben?

Gruß

Answer 1

Fall a≠0 und b≠0

(I) ax + by = a,        | *a

(II) bx - ay = b        | *b

(I) a^2 x + aby = a^2, 

(II) b^2 x - aby = b^2  

-------------------------------      (I) + (II)

(a^2 + b^2) x = a^2 + b^2       | : Klammer

x = (a^2 + b^2 )/(a^2 + b^2) = 1 

(I) ax + by = a,    | * b

(II) bx - ay = b    | *a

-----------------------------

(I) abx + b^2 y = ab, 

(II) abx - a^2 y = ab 

------------------------------  (I) - (II) 

 0    +    (b^2 + a^2) y = 0    | : Klammer

y = 0 / (a^2 + b^2) = 0

Nun erst mal nachrechnen und dann noch die Fälle

a=0, b≠0

a≠0, b=0

a=0, b=0 

untersuchen, falls ihr bei a und b beliebige Parameter (auch Spezialfälle) betrachten sollt. 

Fall. a=0 und b≠0

(I)  by = 0,   ==> y = 0

(II) bx = b  ==> x = 1

Bsp. a≠0 und b=0

(I) ax  = a,   ==> x = 1

(II) - ay = 0  ==> y =0

Fall a = b = 0

(I) 0 =0, 

(II) 0=0

==> x und y beliebig.

L = {(x|y) | x∈ℝ und y ∈ℝ} 

Answer 2

 (I) ax + by = a
(II) bx − ay = b

Nach längerem Angucken sieht man vielleicht, dass es sich für ab≠0 um zwei zueinander orthogonale Geraden handelt, die sich offenbar unabhängig von a oder b immer im Punkt (1|0) schneiden, so dass die Lösungsmenge aus eben diesem Punkt besteht.

Für a=b=0 umfasst die Lösungsmenge die gesamte Ebene ℝ×ℝ.