Vollständige Induktion: Abschätzung n^2 < 2^{n+1}

Question

n² < 2ⁿ⁺¹ soll ich induktiv beweisen. Ich weiß grob, wie man da vorgeht, weil ich mir andere Beispiele angeschaut habe, aber irgendwie kriege ich es selber nicht hin diese Terme umzuformen um das zu zeigen.

Comments

Schau jeweils auch in die Links bei den "ähnlichen Fragen": 

Bsp. https://www.mathelounge.de/278281/fur-n-€-n-gilt-n-2-n-ich-weiss-dass-es-ab-n-5-klappt-aber-begrundung 

oder hier:

https://www.mathelounge.de/225561/vollstandige-induktion-bei-zwei-ungleichungen-bsp-fur-n≠3

Answer 1

Hilfssatz Für n≥3 gilt 2n+1<n².

Induktionsvoraussetzung: n²<2ⁿ⁺¹ Multiplizieren mit 2 ergibt n² + n² < 2ⁿ⁺¹⁺¹

Induktionsanfang: Die Behauptung gilt fur n = 1, 2, 3

Wegen des Hilfssatzes gilt fü n≥3   n² + 2n + 1 < n² + n² < 2^)n+1)+1 oder (n+1)² < 2^(n+1)+1, was zu zeigen war..