Berechne das Lagrange-Interpolationspolynom durch (0,0), (1,a) und (2,b)

Question

Berechne das Lagrange-Interpolationspolynom L(x) durch die Punkte (0,0), (1,a) und (2,b) (a, b Element der reellen Zahlen). Wie sind a und b zu wählen, damit L(x) zusätzlich durch den Punkt (3,42) verläuft?

Stimmt die Berechnung und wie rechnet man weiter?

$$ { L }_{ 0 }(x)\quad =\quad 0\quad *\quad \frac { (x-1)(x-2) }{ (0-1)(0-2) } \\ \\ { L }_{ 1 }(x)\quad =\quad a\quad *\quad \frac { (x-0)(x-2) }{ (1-0)(1-2) } =a\quad *\quad \frac { x²-2x }{ 1-2 } =-ax²+2ax\\ \\ { L }_{ 0 }(x)\quad =\quad b\quad *\quad \frac { (x-0)(x-1) }{ (2-0)(2-1) } =b\quad *\quad \frac { x²-x }{ 4-2 } =\frac { bx² }{ 2 } -\frac { bx }{ 2 } \\ \\ x²:\quad -a+\frac { b }{ 2 } \\ \\ x¹:\quad 2a-\frac { b }{ 2 } \\ \\ L(x)=-ax²+\frac { bx² }{ 2 } +2ax-\frac { bx }{ 2 } \\ $$

Danke.

Answer 1

$$ L(x)=-ax²+\frac { bx² }{ 2 } +2ax-\frac { bx }{ 2 }  $$
$$ L(x)=    x^2\left(\frac { b }{ 2 }-a\right) +x\left(2a-\frac { b }{ 2 }\right) $$  Punkt (3,42)
$$ 42=    3^2\left(\frac { b }{ 2 }-a\right) +3\left(2a-\frac { b }{ 2 }\right) $$
$$ 42=    \left(\frac {9 b }{ 2 }-9a\right) +\left(6a-\frac { 3b }{ 2 }\right) $$
$$ 42=   \frac {6 b }{ 2 }-3a $$
$$ 42=   3 b -3a $$
$$ 14=    b -a $$