Berechnen Sie ein Interpolationspolynom zu der gegebenen Stützpunktmenge.

Question

Aufgabe:

a.) Berechnen Sie ein Interpolationspolynom zu der gegebenen Stützpunktmenge mit den Punkten (4,4), (6,2) und (8,2).

b.) Wie viele interpolierende Polynome zu der gegebenen Stützpunktmenge vom Grad höchstens 2
gibt es?

c.) Wie viele interpolierende Polynome zu der gegebenen Stützpunktmenge vom Grad höchstens 1
gibt es?

d.) Wie viele interpolierende Polynome gibt es insgesamt.

Problem/Ansatz:

a.) Hier habe ich das Polynome mit der Lagrange-Interpolation bestimmt und hab nach Anwendung des Schemas mit den gegebenen Stützpunkten erhalten: L_x,y(x) = \( \frac{1}{4} \)x² - \( \frac{7}{2} \)x + 14.

Zwischenpolynome: L_x,4(x) = \( \frac{x - 6}{4 - 6} \) * \( \frac{x - 8}{4 - 8} \)

                         L_x,6(x) = \( \frac{x - 4}{6 - 4} \) * \( \frac{x - 8}{6 - 8} \)

                         L_x,8(x) = \( \frac{x - 4}{8 - 4} \) * \( \frac{x - 6}{8 - 6} \)

Bei den Teilaufgaben b.), c.) und d.) habe ich ein Verständnisproblem bezüglich des Begriffs "interpolierende Polynome" und bin mir nicht sicher was genau damit gemeint ist und wie ich diese rechnerisch bestimmen kann.

Ist mein Ergebnis bei a.) soweit korrekt? Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Hallo

durch 3 Punkte ist eine Parabel eindeutig festgelegt, d,h, es gibt nur eine, (egal mit welcher Methode man sie bestimmt)  eine Gerade, die durch 3 Punkte geht gibt es i.A, nicht (wenn sie nicht schon von alleine darauf liegen)  d,h, man kann nur 2 Geraden  finden, die interpolieren eine durch die ersten 2 Punkte, eine durch die zweiten,  eventuell noch durch den ersten und letzten. also gibt es insgesamt 3  vernünftige Polygone.

allerdings kann man natürlich auch höhere Polynoms durch die Punkte legen, die dann nicht mehr eindeutig sind, insofern gibt es sehr viele ( die meisten unsinnig)

Gruß lul

Comments

Gibt es eine Möglichkeit rechnerisch an die Sache heranzugehen, da es doch etwas abstrakt ist?

---

Wenn ich es richtig verstehe, müsste es also 3 interpolierende Polynome vom Grad höchstens 1 (c.)) und ein einziges mit dem Grad höchstens 2 geben (b.)). Also somit insgesamt 4 interpolierende Polynome (d.)). Wäre dies korrekt?

---

hallo

die Frage wieviele Interpolationspolynome es insgesamt gibt verstehe ich nicht, lineare würde ich nur 2 zählen, quadratisch eins, aber höhere (sinnlose) gibt es natürlich viele. Alaowürde ich sagen 3 sinnvolle vom Grad <=2

Rechnerisch; quadratisch p(x)=ax^2+bx+c, 3 Unbekannte, mit 3 Punkten eine eindeutige Lösung  durch 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten (oder keine, falls z.B, die Punkte auf einer geraden liegen kommt a=0 raus.)

Gruß lul