Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung L ⊆ ℂ

Question

Hi,

bräuchte Hilfe bei der Aufgabe:

Hab schon mit dem Ansatz a+bi und Substitution angesetzt aber irgendwie kriege ich da nur ellenlange Terme raus von daher denke ich nicht dass das die Lösung dazu sein kann.

Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung L ⊆ ℂ:

$$2zRe(z)+\quad 2\overline { z } Im(z)\quad =\quad z²\quad +\quad 1$$

Wobei mit $$\overline { z }$$ das komplex-konjugierte von z gemeint ist.

Answer 1

2zRe(z)+2z_Im(z)=z²+1

Ich würde auch den Ansatz z=a+bi wählen

2*(a+bi)*a+2*(a-bi)*b=a²+2iab-b²+1

2a²+2iab+2ab-2ib²=a²+2aib-b²+1

a²+2ab-2ib²=2iab-b²+1

Vergleich Real und Imaginärteil:

a²+2ab=1-b² --> (a+b)²=1 --> a=1-b,-1+b

-2b²=2ab 

--> b=0

a=1,a=-1

z=±1

Answer 2

Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung L ⊆ ℂ