reelle Konstanten berechnen so dass f auf R differenzierbar ist.

Question

brauche Hilfe bei der Aufgabe

Gegeben sei die Funktion f : ℝ → ℝ mit

f(x) =

$${ (x\quad +\quad 3) }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad für\quad x\quad \le \quad 0$$

$$4sin(ax)\quad +\quad b\quad \quad \quad für\quad x\quad >\quad 0$$

Berechnen Sie die reellen Konstanten a,b ∈ ℝ so, dass f auf ℝ differenzierbar ist.

Answer 1

f(x)  =  (    (x+3²                     für x ≤ 0

            (   4 • sin(ax) + b       für x > 0

lim_x→0-  f(x) = 9 ,  lim_x→0+ f(x) = b  →   b = 9    , weil f in x=0 stetig sein muss.

Die auf  ℝ\{0} eingeschränkt Funktion f_e hat die Ableitung

f_e' (x)   =   (  2 • (x+3)          für x ≤ 0

                 (  4a • cos(ax)    für x > 0

f ist genau dann differenzierbar in x= 0,  wenn  lim_x→0 f(x)  existiert:

lim_x→0-  f_e(x) = 6  = lim_x→0+  f_e(x) = 4a   →  4a = 6  → a = 3/2 

Gruß Wolfgang