Polynomfunktion 4. Grades, symmetrisch zur Y-Achse, Nullstelle und Wendepunkt gegeben

Question

Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse und hat in N(0/0) eine Nullstelle und in W(1/-5) einen Wendepunkt. Wie lautet der Funktionsterm?

Die Frage ist mit Geogebra zu lösen. Ich brauche unbedingt Hilfe :(

Answer 1

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f(0) = 0 --> c = 0

f(1) = -5 --> a + b = -5

f''(1) = 0 --> 12·a + 2·b = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte

f(x) = x^4 - 6·x^2

Skizze

~plot~ x^4 - 6x^2;[[-4|4|-10|2]] ~plot~

Answer 2

Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse und hat in N(0|0) eine Nullstelle und in W(1|-5) einen Wendepunkt. Wie lautet der Funktionsterm?

Der Graph geht durch N(0|0) und hat dort wegen der Symmetrie ein Extremum und hat dort eine zweifache Nullstelle.

Linearfaktorenform:  \(f(x)=ax^2(x-N)(x+N) =ax^2(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2)\)

...und in W(1|...) einen Wendepunkt (2. Ableitung)

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x)\)

\(f''(x)=a(12x^2-2N^2)\)

\(f''(1)=a(12-2N^2)=0\)

\( N^2=6 \)

\(f(x)=a(x^4-6x^2)\)

..und in W(1|-5) einen Wendepunkt:

\(f(1)=a(1-6)=-5a=-5\)

\(a=1\)

\(f(x)=x^4-6x^2\)