Es sei \( \phi :I\rightarrow ℝ\) die maximale Lösung der Anfangswertaufgabe y'=e^x y^2+5 mit y(0)=1

Question

Es sei \( \phi :I\rightarrow ℝ\) die maximale Lösung der auf  \( U:={ ℝ }^{ 2 } \) gegebenen Anfangswertaufgabe

$$ y'={ e }^{ x }{ y }^{ 2 }+5,\quad \quad y(0)=1.  $$ Zeigen Sie, dass  \( \log { 2 } \notin I \).

Hinweis: Sei \( \psi :J\rightarrow ℝ \) die maximale Lösung der Anfangswertaufgabe $$ y'={ e }^{ x }{ y }^{ 2 },\quad \quad y(0)=1.  $$ Durch konkretes Lösen sieht man  \( \log { 2 } \notin J \). Zeigen Sie nun \( \phi \ge \psi .\)

Comments

Weisst du, das I und J ist?

Meinst du mit log_(2) die Funktion mit der Gleichung f(x) = log_(2)(x) ?

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Ich habe es als log(2) verstanden. Und I und J sind dachte ich, die maximalen Lösungen der Anfangswertaufgaben.

Answer 1

Lösung für y'=e^x*y^2 mit y(0)=1

y=1/(-e^x+2)

Weiter weiß ich nicht

Comments

das habe ich auch raus und das scheint soweit für log(2) zu stimmen

Die erste DGL ist glaube ich eine Riccatische DGL.

ich bin mir aber nicht sicher ob man hier für ys(x) den wert y(0)=1 einsetzen soll oder ys(x)=c

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Vielleicht reicht die Lösung dafür, um zu zeigen, dass log(2) ∉ J ist. Jetzt heißt es nur noch zu zeigen, dass Φ ≤ Ψ ist.

Aber es wäre besser gewesen, wenn du deine "Antwort" als Kommentar geschrieben hättest ;). Denn jetzt wird weniger auf diese Frage geguckt.

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Im Nenner darf nicht 0 stehen.

y=1/(-e^x+2)

Daher ist e^x = 2  auszuschliessen.

e^x = 2  | ln

x = ln(2) 

Daher

y=1/(-e^x+2)  , wobei x ≠ ln(2) . 

I und J sind wohl die maximalen Definitionsbereich der Lösung. 

Also: I = R \ { 0} 

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Wie kommt man denn auf die Lösung y(x) für die DGL?

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hat jemand eine Lösung ?