DGL Anfangswertaufgabe bestimmen, damit Lösung beschränkt. y'' = 4y + e^{-2x}

Question

kann mir jemand bei der b) helfen? Verstehe einfach nicht wie genau man vorgehen soll ..

Bei der a) kommt y(x)=c1*e^{2x}+c2*e^{-2x}-1/4 xe^{-2x} raus, falls das Hilft

Comments

mit y₀ = u  und y₁ = v komme ich auf die Ungleichung

e^2x · (8·u + 4·v + 1) / 16  -  e^-2x · (4·x - 8·u + 4·v + 1) / 16  >  -1

Weiter fällt mir dazu leider erst einmal nichts ein.

Answer 1

du musst zuerst das Anfangswertproblem vollständig lösen,also auch die Anfangsbeingungen verarbeiten. Man erhät die Lösung

y(x)=(y0/2+y1/4+1/16)*e^2x+e^{-2x}*(-y1/4+y0/2-1/16-x/4)

Der zweite Term strebt gegen 0, für x gegen unendlich.

Der erste Term würde normalerweise gegen + oder minus unendlich streben. Damit wäre aber y auf ]1,unendlich[ nicht beschränkt. Also muss der Faktor vor e^{2x} null werden.

y0/2+y1/4+1/16=0

---> y1=-2y0-1/4

Comments

 
Also muss man gar keine genauen Zahlen für das Paar (y0,y1) angeben und es reicht zu schreiben, dass y1=-2y0-1/4 und y0=-y1/2-1/8 sein muss?

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Ja es gibt unendlich viele Lösungspaare.

Du kannst y0 frei wählen und y1 wird durch die Wahl von y0 eindeutig bestimmt.

Aufschreiben kannst du das als

(y0,y1)=(y0-2y0-1/4) , y0∈|R