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Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe.
$$ y'\quad =\quad -\frac { 2 }{ x } y+{ x }^{ 2 }+1,\quad \quad y(1)=\frac { 23 }{ 15 } .\\ $$ Geben Sie den maximalen Definitionsbereich an.


Meine Lösung:


$$\\ \frac { dy }{ dx } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } y+{ x }^{ 2 }+1\\ \frac { dy }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } +\frac { { x }^{ 2 } }{ y } +\frac { 1 }{ y } dx\\ \frac { dy }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } +\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ y } dx\\ dy\frac { 1 }{ y } -\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } dx\\ dy-\frac { { x }^{ 2 } }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } dx\\ dy\frac { 1 }{ y } \quad =\quad \frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } dx\\ \int _{ \frac { 23 }{ 15 }  }^{ { y }_{ 1 } }{ \frac { 1 }{ y }  } \quad =\quad \int _{ 1 }^{ { x }_{ 1 } }{ \frac { 2 }{ { x }^{ 3 } }  } \\ { \left[ \ln { (y) }  \right]  }_{ \frac { 23 }{ 15 }  }^{ { y }_{ 1 } }\quad =\quad { \left[ -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  \right]  }_{ 0 }^{ x_{ 1 } }\\ \ln { ({ y }_{ 1 }) } -\ln { (\frac { 23 }{ 15 } ) } \quad =\quad -\frac { 1 }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } } -(-\frac { 1 }{ 1 } )\\ \ln { ({ y }_{ 1 }) } \quad =\quad -\frac { 1 }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } } +1+\ln { (\frac { 23 }{ 15 } ) } \\ { y }_{ 1 }\quad =\quad { e }^{ -\frac { 1 }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } }  }+e+\frac { 23 }{ 15 } $$

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Ist meine Lösung richtig? -->leider nein

Diese Aufgabe habe ich mit dem Verfahren "Variation der Konstanten " gelöst.


Oder eine 2. Möglichkeit mit Variation der Konstanten diese Aufgabe zu lösen.

https://www.mathelounge.de/376087/losung-einer-anfangswertaufgabe-bestimmen

Bild Mathematik

von 82 k
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Hallo,

Lösung per Substitution \(z=x^2y\).$$z'=2xy+x^2y'=2xy+x^2\left(-\frac2xy+x^2+1\right)=x^4+x^2$$$$z=\frac{x^5}5+\frac{x^3}3+c$$$$y=\frac z{x^2}=\frac{x^3}5+\frac x3+\frac c{x^2}. $$Gruß

von

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