Differentialgleichung y'' + 4y = 8

Question

Gegeben ist :  y''(x) + 4y(x) = 8 
a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL. b) Ermitteln Sie mit geeignetem Ansatz eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL. Wie lautet nun die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL?

Hat jemand vielleicht eine Idee? Danke für die Rückmelung.

Comments

Sehr gut erklärt.Dankeschön.

LG

Answer 1

Hi,

a)

stelle das charateristische Polynom auf um die homogene Lösung zu bestimmen:

y'' + 4y = 0

x^2 + 4 = 0          

x_(1,2) = ±2i

Die homogene Lösung ist also:

y_(h) = c_(1)sin(2x) + c_(2)cos(2x)

Für den partikulären Teil nehmen wir einen Ansatz. Einen Ansatz der rechten Seite. Der wäre hier einfach y = a.

Zweimal ableiten ergibt y'' = 0 und das setzen wir oben ein:

0 + 4*a = 8

a = 2

-> partikuläre Lösung ist y_(p) = 2

Folglich haben wir:

y = y_(h) + y_(p) = c_(1)sin(2x) + c_(2)cos(2x) + 2

Grüße