bei der Ableitung der Log-Likelihood-Funktion hast du einen Vorzeichenfehler:
\( l(p) = 2n \log(p) + n\bar{x} \log(1-p) + \sum_{i=1}^{n} \log(x_i +1) \).
\( \Longrightarrow l'(p) = \frac{2n}{p} - \frac{n\bar{x}}{1-p} \).
Die Nullstelle dieses Ausdrucks ergibt sich aus
\( 2n(1-p) = n\bar{x}p \)
\( 2 = (\bar{x}+2)p \)
\( p = \frac{2}{\bar{x} + 2} \).
Es ist
\( p(\bar{x} = 3) = \frac{2}{5} \).
Da das \( n \) in der Rechnung wegfällt, muss man sich über den Grenzübergang \( n \rightarrow \infty \) keine Gedanken machen. Der Fokus der Aufgabe liegt wohl auch auf der Ableitung und der Nullstelle der Log-Likelihood-Funktion.
Daher wird vermutlich auch nicht unbedingt der Frage nachgegangen, ob die Wahrscheinlichkeitsfunktion \( P(X_i = k) \) für alle \( p \) normiert ist, das heißt, ob für alle \( p \) gilt \( \sum_{k=0}^{\infty} P(k) = 1 \). Aus dieser Forderung könnte sich nämlich unter Umständen nur ein einziges gültiges \( p \) ergeben.
Mister
