Hi,
betrachte die Abbildung $$ T(X) = AX + A $$ Dann gilt
$$ (1) \quad \| T(X) - T(Y) \| = \| (A(X - Y) \| \le \| A \| \cdot \| X - Y \|$$ und weil \( \| A \| < 1 \) gilt, ist die Abbildung kontrahierend.
Damit ist die Folge \( X_{n+1} = T(X_n) \) nach dem Banachschem Fixpunktsatz konvergent für einen beliebigen Startwert \( X_0 \). Wählt man \( X_0 = 0 \) dann folgt, \( X_1= A \), \( X_2 = A^2 + A \) und allgemein,
$$ (2) \quad X_n = \sum_{k=1}^n A^k $$ und die Folge \( X_n \) konvergiert und besitzt einen Fixpunkt. Sei \( \lim_{n\to\infty} X_n = X^\star = \sum_{k=1}^\infty A^k \) dann gilt,
$$ (3) \quad T(X^\star) = X^\star $$ aus (3) folgt
$$ (4) \quad A X^\star + A = X^\star $$ also
$$ (5) \quad A = (E - A)X^\star = (E - A) \cdot (X^\star + E - E) = (E - A) \cdot \sum_{k=0}^\infty A^k - E + A $$ aus (5) folgt dann
$$ (6) \quad E = (E - A) \cdot \sum_{k=0}^\infty A^k $$
D.h. \( (E - A) \) ist die Linksinverse von \( \sum_{k=0}^\infty A^k \)
Genauso zeigt man mit der Abbildung \( T(X) =XA + A \) das die Rechtsinverse von \( E - A \) den gleichen Wert hat. Also ex. \( (E - A)^{-1} \) und hat den Wert \( \sum_{k=0}^\infty A^k \)
Das entspricht im eindimensionalen Fall der geometrischen Reihe. Die Summe nennt man auch Neumannsche Reihe.
