Grenzwert (x^3-6x^2+14x-14)*e^x

Question

Der Grenzwert nach minus Unendlich ist 0.
lim e^x * (x^3 - 6x^2 + 14x - 14) = 0

Ich weiss dass die Exponentialfunktion in jedem Fall größer als Null ist. Aber mir erschließt sich nicht, wo am Ende die Null her kommt.

Danke schon mal vorab und Grüße!

Answer 1

e^x = 1 / e^-x  ,  lim_{x→ -∞}  e^-x = ∞

Du kannst 3-mal die Regel von de l' Hospital anwenden:

[ d.h. jeweils den Grenzwert von " Zählerableitung durch Nennerableitung" bilden ]

lim_{x→ - ∞} [ e^x * (x³ - 6x² + 14x - 14) ]

= lim_{x→ -∞}  [ ( x³ - 6·x² + 14·x - 14) / e^-x ] = " - ∞/ ∞"

= lim_x→ -∞  [ ( 3·x² - 12·x + 14) / (-e^-x) ]     = " - ∞/ ∞"

= lim_x→ -∞ [ ( 6x-12) / e^-x ]  =  " - ∞/ ∞"

= lim_x→ -∞  [ -12 / (-e^-x) ]  = " 12 / ∞"  =  0

Es gibt aber auch die Faustregel 

( e-Term → 0 )  *   ( Polynom → ± ∞ )   →  0  [ e-Term überwiegt ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

Am schnellsten: Du weisst, dass e^x  "stärker" ist als jede Potenz von x.

Wenn das nicht bekannt ist, z.B. Bruch draus machen und mehrmals Hospital anwenden. 

lim e^x * (x³ - 6x² + 14x - 14)   |  x gegen -unendlich

= lim  (x³ - 6x² + 14x - 14)/( e^{-x})           | nun wie erwähnt mehrfach Hospital