Mengen A und B Beweise: A ⊂ (teilmenge) B <-> A ∪ (vereinigt) B = B.

Question

Ich bräuchte hilfe bei folgender aufgabe.

Es seien A und B Mengen. Beweisen Sie: A ⊂ (teilmenge) B <-> A ∪ (vereinigt) B = B

Dankeee!!!!

Answer 1

Hallo Samira,

zu zeigen  A ⊂ B   ↔   A ∪ B = B

Es sind die beiden Richtungen  → und ←  von  ↔  zu begründen:

1)   →

A ⊂ B   →  alle Elemente von A sind auch in B enthalten

            →   A ∪ B enthält genau alle Elemente von B   →  A ∪ B = B

2)   ←

A ∪ B = B  →  sowohl alle Elemente von A als auch alle Elemente von B sind in B                                               enthalten

                  →  alle Elemente von A sind auch in B enthalten  →  A ⊂ B

Gruß Wolfgang

Answer 2

Sei x ∈ A.
Dann haben wir auch dass x ∈ AUB=B.

Also folgt es dass A ⊂ B.

Die andere Richtung ist trivial.