Folge und Reihe von 1/x

Question

4 Antworten

Ein anderes Problem?

poltergeist · Answer 1 · 2016-08-15T09:21:04+0000

Schau mal, was Pappi alles weiß:

-Wolfgang- · Answer 2 · 2016-08-15T09:11:53+0000

ja, das ist richtig.

a_n = 1/n konvergiert gegen 0

aber wenn man die Folgenglieder immer weiter addiert, wird die Summe beliebig groß:

lim_n→∞ \(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/n\) = ∞ (also divergent)

Gruß Wolfgang

mathef · Answer 3 · 2016-08-15T09:12:55+0000

Ja, die Folge mit 1/x und x aus IN für n gegen unendlich ist

ja 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 etc

für immer größeres x ist das dann 1/1000 1/10000000 etc,

und die Werte sind ganz nahe bei 0, also konvergiert die Folge gegen 0.

Die reihe entsteht, durch Addition der Folgenglieder

also 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 etc

und obwohl das ja ziemlich kleine Werte sind, wird durch die

Summe irgendwann jeder endliche Wert überschritten,

(Beweis dazu nicht ganz einfach siehe harmonische Reihe ) d.h.

die Reihe divergiert.

hyperG · Answer 4 · 2016-08-15T14:34:48+0000

divergiert:

unter Asymptotische Entwicklung sieht man, dass es eine Summe aus 3 Teilen ist:

Konstante + ln(x) + O(1/x) {letzte ist immer kleiner werdender Rest gegen 0}

Allgemein ist es

Fall §18 mit B=1 und a=1

Man hat sogar eine explizite Funktion dafür, die reelle Argumente erlaubt (statt nur ganze Zahlen, die über dem Summenzeichen stehen):

HarmonicNumber(2)= 1/1 + 1/2 = 3/2 = 1.5 aber explizit universell gilt:

HarmonicNumber(x)= x * hyg₃F₂(1,1,1-x,2,2,1) {hypergeometrische Funktion kein Schulstoff}

HarmonicNumber(2.5)=1.68037230554677604783220242375...

Bild Mathematik

Für interessierte: Es gibt sogar Folgen, die noch langsamer gegen 0 konvergieren,

ABER dessen Summe immer noch divergieren wie:

§16 aus dem 2. LINK.