Wie funktioniert die Produktregel genau?

Question

Hi ich bin grad am Mathe lernen und habe das mit der Produktregel noch nicht richtig verstanden

kann mir da bitte jemand weiterhelfen.

Answer 1

Hi,

mit der Produktregel kann man allerlei Arten von Funktionen ableiten. Am Besten geht man vor, wenn man zunächst u und v ableitet und dann abschließend in die Formel einsetzt. Bedingung dafür, dass die Produktregel funktioniert, ist, dass die Terme u und v im Bereich der reellen oder der komplexen Zahlen differenzierbar sind. d.h das sie ableitbar sein müssen.

Comments

Hier ist übrigens noch einer dieser Spam-Links.

Answer 2

Wenn eine Funktion das Produkt von zwei Funktionen ist und abgeleitet werden soll, z.B.

f(x) = (3x^3 + 7x^2) * (x^5 + 2x^4 + 7)

Dann bildet man die Ableitung der ersten Funktion und multipliziert sie mit der zweiten Funktion, und dazu addiert man dann die erste Funktion multipliziert mit der Ableitung der 2. Funktion. 

Formal schreibt man kurz und knackig: 

(u * v)' = u' * v + u * v'

Im obigen Beispiel wäre

u = 3x^3 + 7x^2

u' = 9x2 + 14x

v = x^5 + 2x^4 + 7

v' = 5x^4 + 8x^3

Also wäre

f'(x) = (9x^2 + 14x) * (x^5 + 2x^4 + 7) + (3x^3 + 7x^2) * (5x^4 + 8x^3)

Comments

Das ist zwar richtig aber trotzdem etwas ungünstig, weil es bei Funktionen wie 

f(x) = (3x³ + 7x²) * (x⁵ + 2x⁴ + 7)

oft günstiger ist vorher auszumultiplizieren und zu vereinfachen. Denn wenn die Ableitung

f'(x) = (9x² + 14x) * (x⁵ + 2x⁴ + 7) + (3x³ + 7x²) * (5x⁴ + 8x³)

jetzt gleich Null zu setzen ist wegen Maxima und Minima müssen wir eh ausmultiplizieren und zusammenfassen. Daher ist es günstiger das auf eine Stufe vorher zu verlegen und dann entspannt die Ableitungen zu machen.

Trotzdem kann man gut zur Übung beides mal machen um zu sehen das es egal ist ob man vorher oder nachher ausmultipliziert.

Answer 3

Meinst du beim Ableiten? Schau mal folgendes Video an

Und dann haben wir die Funktion:

f(x) = x * e^x

Hier kommt man mit den bisherigen Regeln nicht weiter um eine Ableitung zu finden. Aber wir sehen das wir die Funktion als Produkt zweier Funktionen schreiben können:

f(x) = u(x) * v(x) mit
u(x) = x
v(x) = e^x

Jetzt leiten wir u und v ab und wenden dann die Produktregel an

u = x
u' = 1

v = e^x
v' = e^x

Nun wissen wir (u * v)' = u' * v + u * v'

f'(x) = 1 * e^x + x * e^x = e^x * (1 + x)

Damit sind wir mit der Ableitung fertig.