Question

Ist M2 = ( x,y,z) x >= y ) ein Teilraum des ℝ^3?

Wie arbeitet man mit der gleichung x>=y?

folgende Bedingungen müssen erfüllt werden:

I.  Die Menge ist nicht leer
II. M ist abgeschlossen bezüglich der Addition
III. M ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation

Danke

Answer 1

Hallo Samira,

die Teilräume T des ℝ³  haben entweder die Form  

T = { (x|y|z) | ax + by + cz = 0 mit a,b,c ∈ ℝ }

[ geometrisch sind das genau die Ebenen im ℝ³ durch den Nullpunkt ] 

oder die Punkte liegen alle auf einer Geraden durch den Ursprung.  [Edit dank Lu]

oder T = { (0|0|0) }

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Eine Ungleichung (wie x ≥ y)  ist von diesen Bedingungen weit entfernt.

Deshalb sucht man einfach ein Gegenbeispiel:

(3|0|5) ∈ M₂ , weil 3 ≥ 0

-2 • (3|0|5)  = (-6|0|-5)  erfüllt die Bedingung x ≥ y nicht

→ M₂ ist bzgl. der Multiplikation nicht abgeschlossen

Gruß Wolfgang

Comments

"Geraden durch den Nullpunkt" würde ich jetzt aber auch als "Unterräume" ansehen. 

Aber die gegebene Menge  M2 = ( x,y,z) | x ≥ y )  sicher nicht, wie du schon erklärt hast. 

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Hallo Lu, du hast natürlich - wie fast immer - recht. Ich überlege, wie ich das in der Antwort gut verständlich als "Erkennungsmerkmal" unterbringen kann, weil es einfach gut ist, wenn unsere Freunde einen Anhaltspunkt haben, worauf "es hinausläuft".