Antwort mit KI erzeugt
Lösung zur gegebenen Aufgabe
Um die gestellten Aufgaben zu lösen, werden wir grundlegende Kenntnisse der Vektoranalysis verwenden, insbesondere den Gradienten einer Funktion und das Kurvenintegral.
Teil a)
Zuerst wollen wir zeigen, dass für eine gegebene Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) und eine stetig differenzierbare Kurve \( \alpha : [a, b] \to \mathbb{R}^2 \) die Gleichung \( f(\alpha(b)) - f(\alpha(a)) = \int_a^b \|\nabla f(\alpha(t))\|^2 \, dt \) gilt, unter der Bedingung, dass \( \alpha(t) \) die angegebene Eigenschaft erfüllt.
Der Gradient \(\nabla f\) zeigt in die Richtung der steilsten Zunahme der Funktion \(f\), und \(\|\nabla f\|^2\) gibt das Quadrat der Länge des Gradienten an, was ein Maß für die Steigung der Funktion in jeder Richtung um den Punkt \(\alpha(t)\) ist.
Die Änderung von \(f\) entlang der Kurve \(\alpha\) von \(\alpha(a)\) bis \(\alpha(b)\) kann durch das Linienintegral des Gradienten entlang dieser Kurve ausgedrückt werden:
\(
f(\alpha(b)) - f(\alpha(a)) = \int_{\alpha} \nabla f \cdot d\alpha
\)
Da \(d\alpha\) der infinitesimale Veränderungsvektor entlang der Kurve \(\alpha\) ist, kann man auch sehen, dass \(d\alpha = \alpha'(t)dt\), wobei \(\alpha'(t)\) die Ableitung der Kurve \(\alpha\) nach der Zeit \(t\) ist.
Das Linienintegral kann dann umgeschrieben werden als
\(
\int_a^b \nabla f(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \, dt
\)
Nach unserer Vorbedingung ist jedoch das Quadrat der Länge des Gradienten, \(\|\nabla f(\alpha(t))\|^2\), direkt gegeben, was bedeutet, dass wir es direkt als Integranden verwenden können, ohne den Dot-Produkt-Term explizit zu berechnen. Damit erhalten wir
\(
f(\alpha(b)) - f(\alpha(a)) = \int_a^b \|\nabla f(\alpha(t))\|^2 \, dt
\)
Dies vervollständigt den Beweis für den ersten Teil.
Teil b)
Nun wollen wir zeigen, dass wenn \( \beta : [a, b] \to \mathbb{R}^2 \) eine stetig differenzierbare Kurve ist, deren Richtung durch die Multiplikation des Gradienten \( \nabla f \) mit einer Rotationsmatrix \( R \) gegeben ist, sodass \( \beta'(t) = R \nabla f(\beta(t)) \) für alle \( t \in [a, b] \), dann ist der Wert der Funktion \( f(\beta(t)) \) konstant über \( t \).
Die gegebene Matrix \(R\) ist die Matrix für eine Rotation um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn. Dies bedeutet, dass wir den Gradienten von \(f\) an der Stelle \(\beta(t)\) nehmen und dann um 90 Grad drehen, um die Richtung \(\beta'(t)\) zu erhalten.
Um zu zeigen, dass \(f(\beta(t))\) konstant ist, betrachten wir die Ableitung von \(f(\beta(t))\) nach \(t\):
\(
\frac{d}{dt} f(\beta(t)) = \nabla f(\beta(t)) \cdot \beta'(t)
\)
Setzen wir \( \beta'(t) = R \nabla f(\beta(t)) \), erhalten wir:
\(
\nabla f(\beta(t)) \cdot (R \nabla f(\beta(t)))
\)
Da \(R\) den Gradienten um 90 Grad dreht, ist das Skalarprodukt des Gradienten \( \nabla f \) mit seiner um 90 Grad gedrehten Version immer null (da die Vektoren orthogonal sind). Dies bedeutet, dass keine Veränderung in \(f\) in Richtung von \(\beta'(t)\) stattfindet, also:
\(
\frac{d}{dt} f(\beta(t)) = 0
\)
Dies zeigt, dass \(f(\beta(t))\) konstant über das Intervall \( [a, b] \) ist.
