Vektoren Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Question

Guten Tag welche Vektoren sind Abhängig bzw. unabhängig?

Answer 1

Vektoren v1,v2,... sind abh., wenn

a*v1+b*v2+c*v3+... = 0

nur die Lösung a=b=c=...=0 hat.

Für 2 Vektoren gilt kürzer: einer muss Vielfaches des anderen sein.

Für 3 Vektoren gilt kürzer: die aus ihnen gebildete Determinante muss 0 sein.

Grüße,

M.B.

Answer 2

1)  linear unabhängig, weil keine Vielfachen voneinander.

2)   linear abhängig, weil v₁ = -1,5 * v₂

Rest:

Im ℝ³ kannst du auch überprüfen, ob das Spatprodukt  ≠ 0 ist  (↔  Vektoren linear unabhängig)

( $\vec{v_1}$ x $\vec{v_2}$ ) • $\vec{v_3}$ ≠ 0  ?

z.B. 3)

($\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ x $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$) • $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$  =  $\begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ • $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$  = - 2 ≠ 0

Die Vektoren sind also linear unabhängig

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ggf. zur Erinnerung:    $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ x $\begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} b·f -c·e \\ c·d-a·f \\ a·e-b·d \end{pmatrix}$

Gruß Wolfgang