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hi brauche Hilfe! Möglist alle Schritte genau erklären und aufschreiben. !!:)

A) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in P(-3|0) parallel zu y=6x ist.

B) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P(1|4) einen Extempunkt und in Q(0|2) einen Wendepunkt hat.

C) Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt W(0|0) mit der x-Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt A(-1|-2) besitzt.


Lösung zur Kontrolle aber wie man drauf kommt?, Ratlos!

A) f(x)= 2/3 x^3+2x^2

B) f(x)= -x^3+3x+2

C) f(x)= 6x^4+8x^3

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"B) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P(1|4) einen Extrempunkt und in Q(0|2) einen Wendepunkt hat. "

Zeichne P und Q im Koordinatensystem ein und skizziere die zur Funktion gehörende Kurve.

Aus Symmetriegründen ist R(-1|0) ebenfalls ein Extrempunkt. (==> x = -1 ist doppelte Nullstelle)

Ansatz:

f(x) = a ( x+1)^2 (x+b) 

Nun noch 

f(0) = 2

und 

f(1) = 4 benutzen, um a und b auszurechnen. 

f(0) = a ( 0+1)^2 (0+b) = 2

a*1^2*b= 2

ab = 2

a = 2/b

f(1) = a ( 1+1)^2 (1+b) = 4       | a einsetzen

2/b * 4* ( 1+b) = 4

2/b * (1+b) = 1

2*(1+b) = b

2 + 2b = b

b = -2

a = 2/b 

a = 2/(-2) = -1

f(x) = -1 ( x +1)^2 (x-2)   | Wenn gewünscht noch Klammern auflösen

f(x) = -1 ( x^2 + 2x + 1)(x-2) 

f(x) = -1 ( x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2) 

f(x) = -x^3 + 3x + 2 

Kontrolle:

~plot~ -1 ( x +1)^2 (x-2) ; {0|2} ; {1|4}; [[-8|8|-5|5]] ~plot~ 

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Ansatz f(x) = ax^3 + bx^2 + xc + d

f(0) = 0 wegen Ursprung

f ' (0) = 0 wegen berühren der x-Achse

f(-3) = 0 wegen P

f ' (3) = 6 da Tangente Steigung 6 hat.

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