Erklärung der Ableitungsfunktion?

Question

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Ich frische gerade die Analysis auf. Nun kann ich zwar mit den Formeln mehr oder weniger umgehen, es will mir jedoch nicht in den Kopf was nun einen Ableitung genau ist.

Wenn man sich den Satz von Pythagoras anschaut, hat man am Ende herausgefunden, wie lange eine Kathete ist und kann damit vielleicht einmal was ausrechnen.

Aber was genau hat man nach einer Ableitung erreicht? Was lässt sich daraus schliessen/berechnen? (Natürlich weiss ich, dass die Ableitung der Anstieg der Tangente ist, aber wieso? )

Würde mich über eine Antwort freuen.
Besten Dank

Answer 1

Man hatte die Ableitung als Grenzwert der Differenzialquotienten ermittelt.

f'(x) = lim (h→0) ((f(x+h) - f(x)) / h)

Damit ist es die Steigung einer Sekanten bei der der eine Punkt immer dichter an den anderen Punkt heranrückt. Als Grenzwert erhält man dann die Steigung der Tangente in diesem Punkt.

Wir können also mit der Ableitung die Steigung an verschiedenen Stellen berechnen. Wir können auch Extremstellen oder Sattelstellen bestimmen, weil wir wissen, dass dort die Steigung Null ist. Wenn du über einen Berg gehst hast du genau auf der Bergspitze auch keine Steigung mehr zu überwinden. Du kannst einen Schritt gerade aus gehen ohne eine Steigung zu haben.