Finde abgeschlossenes Intervall und eine Familie von abgeschlossenen Intervallen

Question

Finde ein abgeschlossenes Intervall I' und eine Familie von abgeschlossenen Intervallen \(I_1,I_1,.....,I_N\) so dass die folgenden zwei Bedingungen gelten.

\(\cup_{i=1}^{N} I_i\subset I'\) und \(\sum_{i=1}^{N} V(I_i) > V(I')\)

wobei V der Inhalt der Menge ist.

Answer 1

sei \( I_i = I' \). Dann ist \( I' \supset I' = \cup_i I_i \) und \( \sum_i V(I_i) = N V(I') > V(I') \).

Oder sei

\( I_0 = [ a , a + 2 \frac{b-a}{N+3} ] \),

\( I_{N+1} = [ b - 2 \frac{b-a}{N+3}, b ] \)

und \( I_i = [a + i \frac{b-a}{N+3}, a + (i+2)\frac{b-a}{N+3} ] \) für \( i = 1, \dots, N \).

wobei \( I' = [a, b] \) sei. Dann ist

\( I' \supset \cup_{i=1}^{N} I_i = [a + \frac{b-a}{N+3}, a + \frac{N+2}{N+3}(b-a) ] \)

und

\( \sum_{i=1}^{N} V(I_i) = 2N \frac{b-a}{N+3} \geq V(I') = b-a \) für alle \( N \geq 3 \).

Die Gleichheit gilt bei \( N = 3 \).

Im Gegenteil zum ersten Beispiel sind die \( I_i \) hier paarweise verschieden und ist die Teilmenge eine echte.

Mister

Answer 2

Was wäre mit I_i = [0;1/i ]     und I ' = [ 0 ; 1 ]Die Summe der Längen ist die harmonische Reihe, die ist divergentaber Länge von I ' = 1.

Comments

Aufgrund der besagten Divergenz gibt es für jedes Intervall \( I' = [a, b] \) mit der Wahl \( I_i = [a, a+\frac{b-a}{i} ] \) ein \( N < \infty \), genau genommen \( N \geq 2 \), sodass

\( I' = \cup_{i=1}^{N} I_i \) (gilt bereits für \( N = 1 \))

und

\( \sum_{i=1}^{N} V(I_i) > V(I') \) (gilt für \( N \geq 2 \)).

Die Aussage ist schon ab der zweiten Partialsumme der harmonischen Reihe wahr beziehungsweise gilt sie schon für die zweite Partialsumme der harmonischen Reihe.