X ist abgeschlossen beschränkt und zusammenhängend, wenn X abgeschlossenes Intervall ist

Question

Es sei X eine Teilmenge von R.

X ist genau dann abgeschlossen, beschränkt und zusammenhängend, wenn X ein abgeschlossenes Intervall ist.

Hört sich irgendwie so trivial an, aber wie zeige ich das denn?

Answer 1

per Definition ist ein Intervall zusammenhängend.

Ein Intervall ist abgeschlossen, wenn es als Menge betrachtet abgeschlossen ist.

Ein Intervall ist beschränkt, die Intervallgrenzen bilden die obere und die untere Schranke der Menge.

Damit ist ein abgeschlossenes Intervall eine abgeschlossene, beschränkte und zusammenhängende Menge.

Die Argumentation lässt sich auch umkehren, dadurch entsteht die Äquivalenz der Definitionen:

Eine zusammenhängende, beschränkte Menge ist ein Intervall (per Definition). Eine abgeschlossene solche Menge ist ein abgeschlossenes Intervall.

Mister