Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in der Unterrichtsstunde abgefragt zu werden?

Question

Madame Moni, Französischlehrerin, gibt ihren 30 Schülern eine Seite Vokabeln zum Auswendiglernen auf, und das in jeder Unterrichtsstunde für die nächste Stunde. Sie befragt jedes Mal jeden dritten Schüler, von denen jeder zehnte bereits während der letzten Unterrichtsstunde abgefragt worden ist. Ein besonders fauler Schüler beschließt, nur dann seine Lektion zu lernen, wenn er nicht gerade vorher abgefragt wurde.

„Habe ich eine größere Chance“, fragt er sich dann, „meine Lektion umsonst zu lernen oder von Madame Moni wegen nicht Auswendigwissen der Vokabeln bestraft zu werden?“

1. Löse die Aufgabe.

2. x = Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in einer der beiden Stunden abgefragt zu werden?

3. y = Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zweimal nacheinander abgefragt zu werden?

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Madame Moni, Französischlehrerin, gibt ihren 30 Schülern eine Seite Vokabeln zum Auswendiglernen auf, und das in jeder Unterrichtsstunde für die nächste Stunde. Sie befragt jedes Mal jeden dritten Schüler, von denen jeder zehnte bereits während der letzten Unterrichtsstunde abgefragt worden ist. 

Der blaue Teil würde heissen, dass sie jeweils nur einen gleich wieder befragt, wenn sie ihn in der letzten Stunde befragt hat, da sie ja nur 10 Schüler insgesamt befragt.

In diesem Fall ist 1. schon richtig. Die Wahrscheinlichkeit abgefragt zu werden, ist kleiner, wenn man gerade abgefragt wurde. 

Answer 1

Hier dürfte ein Urnenmodell hilfreich sein:

Wir haben eine weiße Urne mit Kugeln für Schüler, die noch nicht abgefragt wurden, und eine schwarze Urne mit Kugeln für Schüler, die in der letzten Stunde abgefragt wurden.
Anfangs sind in der weißen Urne 30 Kugeln.

Die Wahrscheinlichkeit für jede Kugel, gezogen zu werden, beträgt natürlich 1/3.

Nach dem 1. "Durchgang" bleiben 20 Kugeln in der weißen Urne, 10 kommen in die schwarze.

1.

Jeder 3. von 30 Schülern wird abgefragt (10 Schüler), von denen jeder zehnte bereits während der letzten Unterrichtsstunde abgefragt worden ist (also jeder zehnte von zehn = 1). =>
10 Kugeln sind in der schwarzen Urne, daraus wird eine gezogen.
Die Chance, nochmals abgefragt zu werden, beträgt also nur 10%, die Chance, die Lektion "umsonst zu lernen", beträgt demnach 90%.
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander abgefragt zu werden?

Zunächst muss man in die schwarze Urne wandern (Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/3), und dann muss man mit der Wahrscheinlichkeit von 1/10 (s.o.) nochmals erwischt werden.
Also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander abgefragt zu werden:
1/3 * 1/10 = 1/30


2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer der beiden Stunden abgefragt zu werden?

Gegenwahrscheinlichkeit: Diese Wahrscheinlichkeit ist 1 - Wahrscheinlichkeit, beide Male davon zu kommen.
W., nicht abgefragt zu werden, beträgt 2/3.
W., ein zweites Mal nicht abgefragt zu werden, beträgt ebenfalls 2/3.
W., zwei Mal nicht abgefragt zu werden, beträgt demnach 2/3 * 2/3 = 4/9.

Die Wahrscheinlichkeit, in einer der beiden Stunden abgefragt zu werden, beträgt also 1 - 4/9 = 5/9


Ohne Garantie :-))

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Teilaufgabe 2 ist m. E. die schwierigste:

Eventuell muss berücksichtigt werden, dass in Urne 1 20 Kugeln sind, von denen 9 gezogen werden.

Diese Überlegung muss man sogar in Teilaufgabe 3 berücksichtigen -

bitte einmal selbst überlegen :-)

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Korrektur:
Ich glaube, dass die Aufgabe doch aufwändiger ist als anfangs gedacht.
Teilaufgabe 1:

Es werden 10 Schüler abgefragt, davon ist jeder zehnte schon in der letzten Stunde abgefragt worden.
D.h. einer von 10 schon Befragten wird noch einmal befragt. Die Wahrscheinlichkeit, wegen nicht Auswendigwissen bestraft zu werden, beträgt also nur 10%, die W., "umsonst zu lernen" beträgt 90%.
Das müsste also stimmen.
Bei den Teilaufgaben 2 und 3 muss wahrscheinlich unterschieden werden, ob man in der letzten Stunde befragt wurde oder nicht.
Sehe ich mir morgen nochmal an, wenn ich die Zeit finde :-)

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Also zuerst an den Fragensteller: Ich vermute dass ich von derselben Seite komme wie Du, um nach einem Tipp zu googeln. Die Frage allerdings 1:1 zu kopieren und andere denken zu lassen ist ja mal ziemlich billig für einen D5. Ein wenig beteiligen dürftest Du Dich dann schon.

An Brucybabe: Ich habe die Aufgabe bisher wie folgt gerechnet:

Zuerst suche ich die Wahrscheinlichkeit in einer der beiden Stunden abgefragt zu werden. Dazu habe ich auch in etwa Deine Urnenvorstellung benutzt, allerdings ist das ein zehnstufiges Zufallsexperiment ohne zurücklegen mit kombinierten Ergebnissen. Zu einfacher deutsch: Aus der Urne mit 30 Schülern werden 10 gezogen für jeden von denen ist die Chance 1/3 dranzukommen. Nun ist aber ein Schüler drangekommen, der wird nicht nochmal aufgerufen. Für den nächsten Schüler ist daher die Wahrscheinlichkeit 1/29. Für den zehnten analog 1/21.

Nun ist es mir aber als Schüler total egal, ob ich als erster, oder dritter abgefragt werde ;) Daher würde es reichen zu einem von den zehn zu gehören und damit addieren sich die Teilwahrscheinlichkeiten. Damit komme ich auf einen verdammt langen Bruch und dezimal ausgedrückt sind das (gerundet) etwa 0,4 also etwa 40% Wahrscheinlichkeit. Das klingt mir auch total glaubwürdig.

Für Stufe zwei habe ich dann folgendes gedacht: Zuerst muss man zu den bereits abgefragten gehören. Da nehmen wir also die Wahrscheinlichkeit von oben. Und dann wird man unter den 9 anderen ausgewählt, also das ganze noch mal 1/10. Hier spielt es dann keine Rolle mehr, wer die anderen 9 (nicht abgefragten) sind, nur, dass einer von den 10 (bereits abgefragten) gefragt wird.

So jetzt bin ich gespannt: Konnte ich überzeugen, oder findet einer einen Fehler? Beides würde mir gefallen ;)

Brigitte

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Hallo Brigitte, 

danke sehr für Deine Bemühungen! 

Ich bin mir - habe mich aber offen gestanden nicht mehr damit beschäftigt - immer noch nicht sicher;

aber ca. 0,4 als Wahrscheinlichkeit, geprüft zu werden, erschienen mir zu groß, denn es wird ja nur jeder dritte Schüler geprüft - die nachfolgenden Berechnungen stützen aber Deine Annahme!

 

Wir haben, wie von Dir vorgeschlagen, nur eine Urne, die mit dreißig Kugeln gefüllt ist, welche die Schüler repräsentieren - wegen meiner sind sie mit 1 bis 30 durchnummeriert. 20 Kugeln davon sind weiß (die Schüler, die in der letzten Stunde nicht abgefragt wurden), 10 Kugeln sind schwarz (die in der letzten Stunde abgefragten Schüler).

Es werden 9 der weißen Kugeln und eine der schwarzen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass "ich als weiße Kugel" nicht gezogen werde, beträgt 19/20 * 18/19 * 17/18 * 16/17 * 15/16 * 14/15 * 13/14 * 12/13 * 11/12 = 11/20

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede weiße Kugel, gezogen zu werden, 1 - 11/20 = 9/20 = 0,45 = 45%.

Aber das war ja eigentlich schon von vornherein klar :D

P(weiße wird gezogen) = 0,45

P(weiße wird nicht gezogen) = 0,55

Und für die schwarzen Kugeln gilt:

P(schwarze wird gezogen) = 0,1

P(schwarze wird nicht gezogen) = 0,9

Nach dem Ziehen der 10 Kugeln werden diese auf wundersame Weise schwarz und alle in der Urne verbliebenen weiß, und die Urne wird wieder gefüllt, damit Madame Moni wieder für die nächste Stunde gerüstet ist :-)

 

Aufgabe 1)

Der faule Schüler lernt nur dann, wenn er nicht gerade vorher abgefragt wurde.

Er wird also durch eine weiße Kugel repräsentiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass er abgefragt und bestraft wird, beträgt 45%. Die Wahrscheinlichkeit, nicht abgefragt zu werden und deshalb "umsonst" gelernt zu haben, beträgt hingegen 55%.

 

Aufgabe 2)

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer der beiden Stunden abgefragt zu werden?

Hier ist die Frage unklar, es muss entweder heißen

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in genau einer der beiden Stunden abgefragt zu werden?

oder

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in mindestens einer der beiden Stunden abgefragt zu werden?

 

Zunächst einmal "in genau einer der beiden Stunden":

Für die weißen Kugeln (die Wahrscheinlichkeit, dass man durch eine weiße Kugel repräsentiert ist, beträgt 2/3) beträgt die Wahrscheinlichkeit: 

2/3 * 0,45 * 0,9 + 2/3 * 0,55 * 0,45 = 0,435

Für die schwarzen Kugeln (W. = 1/3) beträgt die Wahrscheinlichkeit: 

1/3 * 0,1 * 0,55 + 1/3 * 0,9 * 0,45 ≈ 0,15333

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, in genau einer der beiden Stunden abgefragt zu werden

≈ 0,435 + 0,15333 = 0,58833 = 58,83%

 

"In mindestens einer der beiden Stunden":

1 - Wahrscheinlichkeit (zweimal nicht abgefragt)

P (zweimal nicht abgefragt) =

Weiß

2/3 * 0,55 * 0,55 ≈ 0,201666

Schwarz

1/3 * 0,9 * 0,55 = 0,165

Summe ≈ 0,36666

Die Wahrscheinlichkeit, in mindestens einer der beiden Stunden abgefragt zu werden, beträgt damit

ca. 1 - 0,36666 = 0,6333 = 63,33%

 

3) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander abgefragt zu werden?

Weiß:

2/3 * 0,45 * 0,1 = 0,03

Schwarz: 

1/3 * 0,1 * 0,45 = 0,015

Die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander abgefragt zu werden beträgt also 0,045 = 4,5%.

 

Addieren wir zur Probe alle Wahrscheinlichkeiten nochmal auf: 

Wahrscheinlichkeit, zweimal nicht abgefragt zu werden:                        0,36666

Wahrscheinlichkeit, genau einmal abgefragt zu werden:                       0,58833

Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander abgefragt zu werden:       0,045

Summe ≈ 1

Passt :-)

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Und ein letzter Nachtrag: 

Man würde ja intuitiv vermuten, dass die Wahrscheinlichkeit, in einer beliebigen Unterrichtsstunde abgefragt zu werden, 1/3 beträgt, denn jeder 3. Schüler wird ja abgefragt. 

Mit den gefundenen Wahrscheinlichkeiten lässt sich diese Vermutung bestätigen: 

P(abgefragt zu werden) = 

2/3 * 0,45 + 1/3 * 0,1 = 1/3

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Hi Brucybabe

Du hast Recht, ich hab in meinem Gedankengang nicht berücksichtigt, dass in jeder Stunde bereits letzte-Stunde-abgefragte-Schüler existieren. Wollten wir dem Fragesteller jetzt ein Bein stellen, würden wir fragen müssen, ob es sich hier um die erste und zweite oder jede weiteren Stunden handelt ;)

Der Rest Deiner Ausführungen leuchtet mir voll ein und entspricht auch in etwa den Erwartungswerten die man (ich?) aus dem Allgemeinverständnis heraus hat. Allerdings fühle ich mich noch nicht komplett wohl damit. Also ob es irgendwo noch einen Haken gibt,den ich noch nicht gesehen habe :)

Ich grübele da noch ein wenig drüber nach ;)

Liebe Grüße

Brigitte

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Hi Brigitte, 

 

lassen wir das besser mit dem Bein stellen, sonst wird hier wieder eine Endlos-Diskussion angestoßen :-)

 

Ich kann momentan keinen Fehler entdecken, glaube ohnehin, dass diese Aufgabe genug Haken hatte - sollte aber etwas falsch sein, wird es sicher eines der Mitglieder der Community entdecken. 

 

Nicht so viel grübeln: Ich erinnere mich an einen Religionslehrer, von dem ein Mitschüler seinerzeit sagte: "Das Wetter war so schön, da hat er den ganzen Tag gebetet!" Wir wollen doch nicht, dass man von uns sagt: "Das Wetter war so schön, da hat sie/er den ganzen Tag gerechnet!"  :D

 

Liebe Grüße

Andreas

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*lol* Da stimmt ich Dir ohne Umschweife zu :)


Liebe Grüße

Brigitte


(Ich dachte bisher nicht, dass ich hier einen Account brauche, aber mein kurzer Ausflug hierher war nett, danke :))

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Finde ich gut :-)

Ich würde mich freuen, wenn wir uns öfters miteinander austauschen könnten!

Liebe Grüße

Andreas

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*hihihi

Ich weiß nicht, ob Du Dich freust, oder die Augen rollst, wenn ich immer noch mal wieder damit ankomme. Mir ist aufgefallen, was mich stutzig gemacht hat :)

Wir sind bei Deiner Berechnung

3) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander abgefragt zu werden?

Weiß: 2/3 * 0,45 * 0,1 = 0,03 - soweit so gut

Schwarz: 1/3 * 0,1 * 0,45 = 0,015 Einspruch ;) Wenn ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 beim Start des Experiments zu den schwarzen gehöre, ist meine Abfragewahrscheinlichkeit 0,1, richtig. Aber in der darauffolgenden Stunden bin ich immernoch eine schwarze Kugel, war ja dann wieder dran! Also 1/3*0,1*0,1=1/3000 - oder?

Damit wird die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander abgefragt zu werden
0,03+1/3000=0,0303 - etwa 3,03%

Die Summe kommt mir auch irgendwie zu wenig an 1 ran, aber da hab ich vermutlich weniger Erfahrung ;)

LG Brigitte

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Hi Brigitte, 

 

die bisherige Summe kam betrug schon 1, weil die einzelnen Summanden teilweise periodisch waren - das war kein Problem :-)

 

Aber mit Deinem Einspruch hast Du Recht: Nach dem Abfragen einer schwarzen Kugel bleibt diese schwarz! Das gibt mir sehr zu denken :-)

Wobei hierbei aber wieder ein kleiner Fehler in Deiner Berechnung ist (hihihi): 1/3 * 0,1 * 0,1 = 1/3 * 1/10 * 1/10 = 1/300 ≈ 0,33%

Dann erhalten wir in der Summe zwar 0,03 + 0,0033333 ≈ 0,0333333333 = 1/30,

aber die Gesamtsumme bleibt kleiner als 0 - das ist unschön :-( 

 

Ich schau mir das nochmal an und hoffe, diese Differenz zu 1 auf einen Rundungsfehler schieben zu können :-D

 

Lieben Gruß

Andreas

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Aber jetzt :-D

 

P(Weiß wird abgefragt) = 0,45

P(Weiß wird nicht abgefragt) = 0,55

P(Schwarz wird abgefragt) = 0,1

P(Schwarz wird nicht abgefragt) = 0,9

 

P(zweimal hintereinander abgefragt)

Weiß: 2/3 * 0,45 * 0,1

Schwarz: 1/3 * 0,1 * 0,1 

 

P(genau einmal abgefragt)

Weiß: 2/3 * 0,45 * 0,9 + 2/3 * 0,55 * 0,45

Schwarz: 1/3 * 0,1 * 0,9 + 1/3 * 0,9 * 0,45

 

P(keinmal abgefragt)

Weiß: 2/3 * 0,55 * 0,55

Schwarz: 1/3 * 0,9 * 0,55

 

Summe = 1 :-))