f zudem Lipschitz-stetig. Zeige, dass die Abschätzung des Anfangswertproblems gilt

Question

seien \(f,f^*:[0,T] \times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) stetig und sei f zusätzlich Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variable mit Lipschitz-Konstante L. Seien \(u\) bzw. \(u^*\) Lösungen der Anwangswertaufgabe:

\(u'=f(t,u) , u(0)=u_0 \), \(u '^*=f^*(t,u^*) \) \( , u^*(0)=u_0\)

zum gleichen Anwangswert \(u_0\). Zeige die folgende Abschätzung:

$$|(u-u^*)(t)|\leq \frac{\epsilon(t)}{L} (e^{Lt}-1)$$ für alle \)l \in [0,T],

woei \(\epsilon(t):=\max\){\(|f(s,w)-f^*(s,w)|:(s,w)\in [0,T] \times \mathbb{R}\)}