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Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie alle Lösungen des inhomogenen Differentielgleichungssystems
y1'=4y1+y2
y2'=y2+ex

Generell weiß ich den ablauf um solche Aufgaben zu lösen.
Wir haben es immer so gemacht:
Homogenes System betrachten:
 - Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen
 - Lösung des homogenen Systems Φ(x) bestimmen
 - u(x) bestimmen mit u(x)=∫ Φ(x)-1 * inhomogenität
 - Lösung Ψ(x) bestimmen mit Ψ(x)= Φ(x) * u(x)

Mein Problem in dieser Aufgabe liegt an der Stelle, an der man die Lösung des homogenen Systems bestimmen soll. Bis jetzt war es immer eine Matrixkonstruktion aus eEigenwert * x * Eigenvektor für jedes Spalte der Matrix jeweils mit eigenem Eigenwert(-vektor). Ich weiß bei dieser Aufgabe nur leider nicht sicher wie ich mich verhalten soll, da es nur einen Eigenwert gibt, der dafür ein 'doppelter' ist. Ist es dann trotzdem eine 2*2-Matrix mit 2 identischen Spalten, oder einfach nur ein Vektor oder ist es etwas komplett anderes?

Ich hoffe mir kann jemand helfen.
 

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Ich hätte jetzt vielleicht selbst einen Ansatz.
Es gibt zwei unabhängige Eigenvektoren (0,0) und (1,0) aus denen lässt sich die Lösung des homogenen Systems Φ(x)=((0, e^x), (0, 0)) bestimmen.
Wenn das stimmt habe ich aber wieder ein neues problem. Die Determinante ist =0. Dadurch ist Φ(x) ja nicht invertierbar. Aber ich muss Φ(x) für eine Lösung invertieren.

1 Antwort

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Bestimmen Sie alle Lösungen des inhomogenen Differentielgleichungssystems
y1'=4y1+y2
y2'=y2+ex

Alternativ kannst Du dieses System auch durch Variation der Konstanten berechnen

 Bild Mathematik

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