Unterschiede bei Bestimmung von Eigen- und Hauptvektoren?

Question

ich will ein Anfangswertproblem lösen und habe bei λ = 1 eine dreifache Nustelle, d.h. ich muss einen Eigenvektor und zwei Hauptvektoren berechnen.

Die Matrix um die es geht ist:

1 1 1
0 1 1
0 0 1

Den Eigenvektor habe ich so berechnet:

0 1 1   x        0
0 0 1   y   =   0
0 0 0   z        0

Daraus folgt z=0, dann y=0 und x ist 1 da beliebig oder?

Wenn ich jetzt den ersten Hauptvektor berechne, also

0 1 1   x        1
0 0 1   y   =   0
0 0 0   z        0

dann ist die offizielle Lösung (0,1,0) - aber ich verstehe nicht wieso?

Ich würde auf (1,1,0) kommen, denn z = 0, y = 1 und weil x nicht "vorkommt" dachte ich, ist x genauso wie beim Eigenvektor dann beliebig?

Gibt es hier einen Unterschied zw. Eigenvektor und Hauptvektor-Bestimmung?

Comments

Zum Begriff Hauptvektoren findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum#Hauptvektor

Definitionen und den Satz: "Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1." Lies aber unbedingt auch die Definition von Hauptraum gleich darüber. 

" Den Eigenvektor habe ich so berechnet:

0 1 1   x        0 
0 0 1   y   =   0 
0 0 0   z        0

Daraus folgt z=0, dann y=0 und x ist 1 da beliebig oder? "

Das ist dann einfach mal ein Eigenvektor mit Eigenwert 1 (nicht unbedingt der Eigenvektor).

Du kannst ihn direkt aus der gegebenen Matrix ablesen,

1 1 1 
0 1 1 
0 0 1

denn du weisst, dass in den Spalten der Matrix die Bildvektoren der Einheitsvektoren stehen. D.h. in diesem Fall, dass (1,0,0) auf (1,0,0) abgebildet wird. D.h. mit dem Eigenwert 1 mult. wird. 

" 0 1 1   x        1 
0 0 1   y   =   0 
0 0 0   z        0 

Nachtrag: Wieso genau kommst du rechts auf (1,0,0) ?

dann ist die offizielle Lösung (0,1,0) - aber ich verstehe nicht wieso? "

Du hast das lineare Gleichungssystem:

y + z = 1       (I)

z = 0        (II)

0= 0       (III)

Setze mal (0,1,0) ein und rechne nach:

Passt.

" Ich würde auf (1,1,0) kommen, denn z = 0, y = 1 und weil x nicht "vorkommt" dachte ich, ist x genauso wie beim Eigenvektor dann beliebig? "

Wenn x nicht vorkommt, kannst du für x auch 0 nehmen, wenn du schon y=1 hast. Den Nullvektor willst du ja nicht. Nur, wie ihr die genau zu normieren habt, müsstet ihr doch eigentlich irgendwo abgemacht haben. (?)