Dimension von Eigenwert bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 13 (6 Punkte) Gegeben sei die Matrix $A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ mit $A=\left(\begin{array}{llll}2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)$.
(a) Welchen Zeilenrang hat $A-2 E_{4}$ ? $\quad 2$.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von $A$, deren algebraische und geometrische Vielfachheit und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an.
$\left.\begin{array}{c|c|c|c}\lambda & e_{\lambda} & d_{\lambda} & V(\lambda) \\ \hline \lambda_{1}=5 & e_{1}=1 & d_{1}=1 & V(5)=\mathrm{L}\left(\begin{array}{llll}9 & 9 & 15 & 8\end{array}\right)^{\top}\end{array}\right)$.

Bei folgender Aufgabe hätte ich für den EW die Dimension 2 gewählt. Woher weiß ich, ob sich die Dimension jeweils unterscheidet. Ich hätte diese mit den Spalten-Rang berechnet und dachte, das gilt für alle EW.

LG

Answer 1

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom. Die geometrische Vielfachheit die Dimension des Eigenraums, die maximal der der algebraischen Vielfachheit entspricht.

Die Dimension des Eigenraums bestimmst du durch die Dimension des Kerns von $A-\lambda E_4$. Da in diesem Fall $A-5E_4$ aber Zeilenrang 3 hat, besitzt der Kern die Dimension 1 und das ist damit dann auch die Dimension des Eigenraums.

Für den Eigenwert $\lambda=2$ ist der Zeilenrang nach Aufgabe a) bereits 2, woraus sich eben auch die Dimension des Eigenraums zu diesem Eigenwert mit 2 ergibt.

Es bleibt daher die Frage, warum du als Dimension 2 gewählt hättest.

Comments

Da in diesem Fall $A-5E_4$ aber vollen Zeilenrang hat, besitzt die der Kern die Dimension 1...

Kann das tatsächlich sein?

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Nein, hat natürlich den Zeilenrang 3, weil eine Nullzeile. Und deswegen hat der Kern die Dimension 1. Danke für den Hinweis.

Answer 2

Aloha :)

Bestimmung der Eigenwerte

Die Eigenwerte der Matrix $A$ sind die Lösungen der Gleichung$$0\stackrel!=\operatorname{det}(A-\lambda\cdot\mathbb 1)=\left|\begin{array}{c}\red{2-\lambda}& 3 & 0 & 0\\0 & 5-\lambda & 0 & 0\\0 & 5 & 2-\lambda & 0\\0 & 1 & 1 & \green{2-\lambda}\end{array}\right|$$Wir entwickeln die Determinante nach dem roten Element $a_{11}$ und danach nach dem grünen Element $a_{44}$ schreiben das aber in einem Schritt auf:$$0=(\red{2-\lambda})(\green{2-\lambda})\left|\begin{array}{c}5-\lambda & 0\\5 & 2-\lambda\end{array}\right|=(\red{2-\lambda})(\green{2-\lambda})\cdot\left((5-\lambda)(2-\lambda)-0\right)$$$$0=(2-\lambda)^3\cdot(5-\lambda)$$

Die Matrix $A$ hat also den algebraisch 3-fachen Eigenwert $\lambda_1=2$ und den algebarisch einfachen Eigenwert $\lambda_2=5$.

Bestimmung der Eigenräume

Die Eigenräume erhalten wir als Lösungen der Eigenwert-Gleichung zu den jeweiligen Eigenwerten:$$A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\implies (A-\lambda\cdot\mathbb 1)\cdot\vec x=\vec 0$$Wir lösen dieses Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren.

zu a) Für den Eigenwert $\red{\lambda_1=2}$ finden wir:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & =\\\hline2-\red2 & 3 & 0 & 0 & 0\\0 & 5-\red2 & 0 & 0 & 0\\0 & 5 & 2-\red2 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 2-\red2 & 0\\\hline 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & \div 3\\0 & 3 & 0 & 0 & 0 & \\0 & 5 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \\0 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 5 & 0 & 0 & 0 & -5\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -\text{Zeile 1}\\\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow x_2=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow x_3=0\end{array}$$Wir erhalten die beiden Forderungen $\pink{x_2=0}$ und $\pink{x_3=0}$ und können damit alle Lösungen der Eigenwertgleichung angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\pink{x_2}\\\pink{x_3}\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\\pink{0}\\\pink{0}\\x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die Lösungen haben zwei Freiheitsgrade (=frei wählbare Variablen), sodass der Eigenwert $\lambda_1=2$ die geometrische Vielfachheit $2$ besitzt, mit den beiden Basisvektoren als Eigenvektoren.

zu b) Für den Eigenwert $\blue{\lambda_2=5}$ finden wir:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & =\\\hline2-\blue5 & 3 & 0 & 0 & 0\\0 & 5-\blue5 & 0 & 0 & 0\\0 & 5 & 2-\blue5 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 2-\blue5 & 0\\\hline-3 & 3 & 0 & 0 & 0 & \div(-3)\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 5 & -3 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & -3 & 0\\\hline1 & -1 & 0 & 0 & 0 & +\text{Zeile 4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 5 & -3 & 0 & 0 & -5\cdot\text{Zeile 4}\\0 & 1 & 1 & -3 & 0\\\hline1 & 0 & 1 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -8 & 15 & 0 & \div(-8)\\0 & 1 & 1 & -3 & 0\\\hline1 & 0 & 1 & -3 & 0 & -\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{15}{8} & 0 & \\0 & 1 & 1 & -3 & 0 & -\text{Zeile 3}\\\hline1 & 0 & 0 & -\frac{9}{8} & 0 & \Rightarrow \pink{x_1=\frac98x_4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{15}{8} & 0 & \Rightarrow \pink{x_3=\frac{15}{8}x_4}\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & -\frac{9}{8} & 0 &\Rightarrow \pink{x_2=\frac98x_4}\end{array}$$Wir erhalten 3 Forderungen und damit alle Lösungen der Eigenwertgleichung:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\\pink{x_2}\\\pink{x_3}\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{\frac98x_4}\\[1ex]\pink{\frac{9}{8}x_4}\\[1ex]\pink{\frac{15}{8}x_4}\\x_4\end{pmatrix}=\frac{x_4}{8}\cdot\begin{pmatrix}9\\9\\15\\8\end{pmatrix}$$

Die Lösungen haben einen Freiheitsgrad, sodass der Eigenwert $\lambda_2=5$ die geometrische Vielfachheit $1$ besitzt, mit dem angegebenen Basisvektor als Eigenvektor.

Comments

Wir entwickeln die Determinante nach dem roten Element $a_{11}$ und danach nach dem grünen Element $a_{44}$ schreiben das aber in einem Schritt auf:

Man sagt hier besser, dass man nach der ersten bzw. die Untermatrix nach der letzten Spalte entwickelt, da man die Matrizen auch nach der entsprechenden Zeile entwickeln könnte. Die Schreibweise, dass man eine Matrix nach einem Element entwickelt, ist mir so auch noch nicht untergekommen.

Answer 3

Die Vielfachheit des EW=5 ist 1, dh. die algebraische Vielfachheit ist 1.

Algebraisch bedeutet, wie oft kommt die Lösung im charakteristischen Polynom vor.

Die geometrische Vielfachheit ist mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit, also auch 1.

Geometrisch bedeutet die Dimension des Eigenraums.