Totale Ableitung bestimmen

Question

Ich habe eben folgende Aufgabe gelöst und frage mich, resp. euch, ob ich es richtig gerechnet habe:

Gesucht ist die totale Ableitung dz/dt, gegeben ist z = f(x,y) = ln(2x) + 5y³ + 3^x mit x = 2t + 1 und y = 2t²

Die Formel dazu ist:

dz/dt = f'_x(x,y) * dx/dt + f'_y(x,y) * dy/dt     (1)

Ich rechne:

f'_x(x,y) = 0.5x + ln(3) * 3^x     (2)

f'_y(x,y) = 15y²     (3)

dx/dt = 2     (4)

dy/dt = 4t     (5)

Zusammengesetzt ergibt das:

dz/dt = [ (0.5x + ln(3) * 3^x) * 2 ]   +   [ 15y² * 4t ]     (6)

= [ x + ( 2 * ln(3) ) * ( 2 * 3^x ) ]   +   60y²t     (7)

Ich setze dann x und y ein:

[ ( 2t + 1 ) +  ( 2 * ln(3) ) * ( 2 * 3^(2t+1) ) ] + 60 * (2t²)² * t

ergibt

2t + 1 + ( 2 * ln(3) ) * ( 2 * 3^(2t+1) ) + 120 * t⁵

Stimmt das so?

Danke vielmals!

Answer 1

Die Formel dazu ist:

dz/dt = f'_x(x,y) * dx/dt + f'_y(x,y) * dy/dt     (1)

Ich rechne:

f'_x(x,y) = 0.5x + ln(3) * 3^x     (2)

Da ist was faul: Die Abl. von ln(2x) nach x ist doch 1/x .

f'_y(x,y) = 15y²     (3)

dx/dt = 2     (4)

dy/dt = 4t     (5)

Der Rest stimmt meines Erachtens.

Ich bekomme als Endergebnis:

6ln(3)*9^t + 2 / ( 2t+1) + 240t^5