Nullstellen einer ganzrationaler Funktion mit Parameter berechnen

Question

Gegeben ist die Funktionsschar fa(x)=(x^3/a^2)-ax

Ich möchte die Nullstellen berechnen und weiß, dass x₁=0, x₂=√a^3 sowie x₃=-√a^3

Allerdings kann ich rechnerisch x=0 nicht nachvollziehen.

Meine Rechnung hierzu:

(x^3/a^2)-ax=0           /+ax

x^3/a^2=ax               /*a^2

x^3=a^3*x                /÷x

x^2=a^3                   /√

x_1,2=±√a^3

Meine Frage also hierzu, wie komme ich rechnerisch auf x=0? 

Grüße Gabi

Answer 1

 fa(x)=(x³/a²)-ax 

>Allerdings kann ich rechnerisch x=0 nicht nachvollziehen.

x³/a² - ax  = 0

x ausklammern: 

  x • (x²/a² - a)  =  0

→ x₁ = 0 ist eine Nullstelle     [ 0 * Klammer = 0 ] 

die restlichen Lösungen erhältst du dann aus  x²/a² - a = 0

------------

in deiner Rechnung:

x³=a³*x                / ÷ x   

für x=0 darfst du hier nicht dividieren. du müsstest also den Fall x=0 gesondert betrachten.

Beim Einsetzen in die Gleichung ergibt sich dann 0 = 0, also ist x=0 eine Lösung und damit eine Nullstelle.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Klammere zuerst aus

x(x^2/a^2 -a)=0

-->Satz vom Nullprodukt

x₁=0

------->(x^2/a^2 -a)=0

usw.

Answer 3

Die Null ist dir verloren gegangen, als du durch x geteilt hast. Das darf man nicht, denn x könnte ja Null sein (was hier eine Lösung ist). Lieber so rechnen x³/a²-ax=0  x ausklammern x(x²/a²-a)=0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.   Also x₃=0 oder  x²/a²-a=0 und dann x_1,2=±√a³