Rotation eines Vektorfeldes. Übergang zu allgemeinen Koordinaten mit metrischen Faktoren?

Question

ich hätte eine Frage zur Rotation eines Vektorfeldes.

Man betrachte die Koordinaten $$ u,v,w $$ in einem lokalen orthonormal System von Einheitsvektoren $$ \hat{a} , \hat{b},\hat{c} $$. Die metrischen Faktoren seien $$ h_1,h_2,h_3 $$.

Aufgabe:

Leiten Sie die Darstellung der Rotation eines Vektorfeldes in diesem System aus der Definition

$$ d\vec{a} \cdot rot  \vec{E} = \oint ^{}_{\partial d\vec{a}} d\vec{l} \cdot \vec{E} $$

Könnte mir bitte jemand mal ausführlich eine Komponente des Rotors Herleiten. Ich verstehe leider überhaupt nicht wie ich rangehen soll.

Comments

Deine Definition kann ja nur falsch abgeschrieben sein. Links steht eine infinitesimale Groesse, rechts eine endliche Zahl.

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Es handelt sich hierbei um die analytische Definition.

Die obige Gleichung ist äquivalent zu

$$ \hat {n}  (rot \vec{E}) = \frac{1}{da} \oint_{\partial d\vec{a} } d\vec{l} \vec{E}$$

Diese wurde so  in unserer Theoretischen Physik Vorlesung definiert.

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Ach, schau an, Du willst auch noch ueber den Rand eines infinitesimalen Flaechenelementes \(d\vec{a}\) integrieren. Was ist dann das \(d\vec{l}\) im Integral? Ein Differential von einem Differential?

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Schau mal hier nach :

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/rotation2.pdf

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Schöner Link! Übrigens: Dort gibt es auch noch einen mit der Endung rotation.pdf und rotation3.pdf .

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Danke für den Link.

In Kartesisches Koordinaten habe ich die Herleitung verstanden.

Der Übergang zu allgemeinen Koordinaten mit metrischen Faktoren fällt mir schwer.