Differentialoperator Identität mit rot und grad zeigen

Question

weiß jemand wie man die Folgende Identität zeigt:

$$rot (rot \vec{A}) = grad (div \vec{A}) - \Delta \vec{A}$$

Mein Ansatz:

$$rot ( \vec{e}_i \epsilon _{ijk} \partial _j A_k)= \nabla _i \vec{e} _i \times \vec{e}_i \epsilon _{ijk} \partial _j A_k)$$

Weiter komme ich nicht.

e⃗∂)$$

Answer 1

um es etwas zu vereinfachen, reicht es die i-te Komponente der linken Seite zu betrachten:

$${[rot(rot(A))] }_{ i }=\sum_{jk}{ \varepsilon}_{ ijk }{ \partial }_{ j }{ [rot(A)] }_{ k }\\=\sum_{jklm}{ \varepsilon}_{ ijk }{ \varepsilon}_{ klm }{ \partial }_{ j }{ \partial }_{ l }{ A }_{ m }\\=\sum_{jlm}({ \delta }_{ il }{ \delta }_{ jm }-{ \delta }_{ im }{ \delta }_{ jl }){ \partial }_{ j }{ \partial }_{ l }{ A }_{ m }\\=\sum_{jlm}{ \delta }_{ il }{ \delta }_{ jm }{ \partial }_{ j }{ \partial }_{ l }{ A }_{ m }-\sum_{jlm}{ \delta }_{ im}{ \delta }_{ jl }{ \partial }_{ j }{ \partial }_{ l }{ A }_{ m }\\=\sum_{m}{ \partial }_{ m }{ \partial }_{ i }{ A }_{ m }-\sum_{j}{ \partial }_{ j }^2 { A }_{ i }\\={ \partial }_{ i }\sum_{m}{ \partial }_{ m }{ A }_{ m }-\sum_{j}{ \partial }_{ j }^2 { A }_{ i }\\={ [grad(divA)] }_{ i }-{ [\Delta A] }_{ i }$$

Falls du Probleme mit den Zwischenschritten hast, einfach fragen.

Comments

Ich verstehe die 5 Gleichheit nicht.

Ich sehe, dass du $$\delta _{jm} \partial _l A_m$$ und $$\delta _{jl} \partial _j \partial _l$$ zusammengefasst hast.

Wie löst du das zweite Kronecker Symbol $$\delta _{il}, \delta _{im}$$ auf?

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Linke Summe:

da steht δ_ilδ_jm als Faktor drin.

Das bedeutet, dass die Summe nur Werte liefert, wenn i=l und j=m gilt (ansonsten ist eines der Kronecker Delta=0)

Man kann also die Summation über j und l weglassen während man im Summanden l durch i ersetzt und j durch m, das sind die einzigen Beiträge.

Rechte Summe:

 δ_imδ_jl als Faktor

Es gilt dort m=i und l=j . Die Summe über l und m kann man also weglassen während man im Summanden

l durch j ersetzt und m durch i.

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Dankeschön

Weißt du rein du auch wie man die folgende Gleichheit zeigt:

$$grad (\vec{A} \cdot \vec{B}) = (\vec{A} \nabla ) \vec{B} + (\vec{B} \nabla ) \vec{A} + \vec{A} \times (rot \vec{B}) + \vec{B} \times (rot \vec{A})$$

Ich komme wieder nur bis zur folgenden Gleichheit

$$(grad (\vec{A} \cdot \vec{B} ) _i = (grad (A_k \cdot B_k ) _i = \partial _i (A_k \cdot B_k ) = A_i \partial _i B_k + B_k \partial _i A_k$$

Weiter komme ich nicht....

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Versuche von der rechten Seite ausgehend in die linke Seite umzuformen.

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Habe ich gerade versucht und bin da leider auch nicht weitergekommen.

Ich bin diese Indexschreibweise nicht gewohnt, sodass ich wahrscheinlich einfache Sachen übersehe oder falsch Übersetze...

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Ich schreib mal meinen Ansatz auf:

$$A_i \nabla _i B_i + B_i \nabla _i A_i + \epsilon _{ijk} A_i [rot \vec{B}]_k + \epsilon _{ijk} B_i [rot \vec{A}]_k$$
$$A_k \nabla _i B_i + B_i \nabla _i A_i + \epsilon _{ijk} A_i \epsilon _{klm} \partial _m B_l + \epsilon _{ijk}B_i \epsilon _{klm} \partial _l A_m$$
$$A_k \nabla _i B_i + B_i \nabla _i A_i + (\delta _{il} \delta _{jm} - \delta _{im} \delta _{lj})A_i \partial _m B_l + (\delta _{il} \delta _{jm} - \delta _{im} \delta _{lj}) B_i \delta _m A_l$$
$$A_k \nabla _i B_i + B_i \nabla _i A_i + \delta _{il} \delta _{jm} A_i \partial _m B_l - \delta _{im} \delta _{lj} A_i \partial _m B_l + \delta _{il} \delta _{jm} B_i \partial _m A_l - \delta _{im} \delta _{lj} B_i \partial _m A_l$$
Hier Kürzt sich der 3,4,5,6 Term raus oder? Falls ja hätte ich ja bereits die Lösung.
Ich finde leider kein richtig Script zu diesem Thema, sodass ich schon zu beginn zweifle (die ersten zwei Terme in der ersten Gleichung ) von welchem Index diese abhängen sollen....

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Ich hab es mal korrigiert:

$$A_j \partial _j B_i + B_j \partial _j A_i + \epsilon _{ijk} A_j [rot \vec{B}]_k + \epsilon _{ijk} B_j [rot \vec{A}]_k \\=A_j \partial _j B_i + B_j \partial _j A_i + \epsilon _{ijk}\epsilon _{klm} A_j \partial _l B_m + \epsilon _{ijk}\epsilon _{klm} B_j \partial _l A_m\\=A_j \partial _j B_i + B_j \partial_j A_i + (\delta _{il} \delta _{jm} - \delta _{im} \delta _{jl})A_j \partial _l B_m + (\delta _{il} \delta _{jm} - \delta _{im} \delta _{jl}) B_j \partial _l A_m\\=A_j \partial _j B_i + B_j \partial_j A_i + A_m \partial _i B_m-A_j \partial _j B_i+B_m \partial_i A_m-B_j \partial _j A_i\\=A_m \partial _i B_m+B_m \partial_i A_m\\={ [\nabla(\vec{A}\vec{B})] }_{ i}$$

In der ersten Zeile musst du dich an die Definition halten. Da braucht man eine Weile bis man sich an die ganzen Indizes gewöhnt hat :). Prinzipiell gilt: wenn du die i-te Komponente betrachtest dann darf auch in keinem Summanden i doppelt auftreten, da du ansonsten auch die  Summenkonvention über i anwenden müsstest.

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Danke für deine Antwort.

ich hätte eine Frage zum ersten Summanden in der ersten Gleichung. Warum benutzt du unterschiedliche Indizes? Beim Skalarprodukt müssen die vektoren ja die gleiche Dimension.

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$$\vec{A} \cdot \vec{B} = \delta _{ij} A_i B_j = A_i B_j$$

Deswegen kann ich das nicht ganz nachvollziehen.

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Zum ersten Summanden in der ersten Zeile:

Allgemein gilt

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_k B_k$$

Demzufolge ist

$$(\vec{A} \cdot \nabla) = A_k \partial_k \\ { [(\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B}] }_{ i }=A_k \partial_k B_i$$

Über k wird summiert, über i nicht.

(Über dem Nabla muss eigentlich noch ein Vektorpfeil)