Sei V ein Körper ,m∈ℕ.....? Zur zeigen ist: μ∈σ(A-λE_n) <=> μ+λ∈σ(A) bzw. μ∈σ(X-λE_n) <=> μ+λ∈σ(X)

Question

Sei V ein körper , m∈ℕ und sei X∈Mat_k (m,m). Seien µ,λ∈V.

Zur zeigen ist:

μ∈σ(A-λE_n) <=> μ+λ∈σ(A)

:)

Comments

Verwende die Definition für Eigenwerte und rechne die Behauptung nach. Die Äquivalenz folgt direkt aus Äquivalenzumformungen der entsprechenden Gleichungen.

Und gib die Aufgabenstellung in Zukunft bitte korrekt wieder. Du schreibst erst was von X und dann benutzt du A als Matrix.

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Tut mir leid, habe mich vertippt.

Ich meinte natürlich

μ∈σ(X-λE_n) <=> μ+λ∈σ(X)

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Was genau meinst du mit deinem zweiten Satz?

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Verfolge meinen Hinweis, dann wird es dir vielleicht klarer.

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Also die Defintion vom Eigen wert ist doch

Xσ=λσ

Xσ-λσ=0

(X-λE)σ=0

Und wie komme ich auf μ+λ??

Answer 1

du sollst die Definition für Eigenwerte auf die Aufgabenstellung anwenden. Wir nennen den zugrunde liegenden $V$-Vektorraum einfach mal $W$ da du diesen nicht angegeben hast. Ein Anfang wäre:

$$\mu \in \sigma(X-\lambda E) \Leftrightarrow \exists w \in W: (X-\lambda E )w = \mu w \Leftrightarrow \dots$$

Achte auf deine Notation. Es ist unglücklich ein Sigma als Vektor zu verwenden wenn man das Sigma als Zeichen für das Spektrum in der Aufgabe verwendet.

Gruß