Ableitung von f(x) = cos(X)^ (sin(X))

Question

Heya,

gesucht ist die Ableitung von cos(x)^sin(x) im Intervall [0, 2π).

Komme absolut nicht auf die vorgegebene Ableitung diverser online-Ableitungsrechner.

Mit Kettenregel scheint man hier nicht weit zu kommen.

Comments

EDIT: Die Darstellung der Überschrift ist unklar. Gilt "f(x) = cos(x)^sin(x) im Intervall [0, 2π)." ? 

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Genau. Weiß nicht warum das X in der Überschrift nicht auch hochgestellt ist.

E: Vielen Dank Lu fürs korrigieren der Überschrift

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EDIT: Klammern im Exponenten will der nicht. Habe jetzt " f(x) = cos(X)^ (sin(X)) " draus gemacht.

Answer 1

$$ f(x) = \cos(x)^{\sin(x)} $$

$$ \ln(f(x)) = \sin(x)\ln(\cos(x)) $$

Ableiten, zusammenfassen.

Grüße,

M.B.

Comments

Interessante Aufgabe!

Dann hat man die Ableitung des Logarithmus.

Und dann?

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Hallo

für rechts \( \sin(x)\ln(\cos(x)) \) Produktregel und Kettenregel.

Links ergibt sich: \( \ln(f(x)) = {f'(x) \over f(x)} \).

Nach der ganzen Rechnung nach \( f'(x) \) auflösen und für \( f(x) \) wieder \( \cos^{\sin(x)} \) Gleichung einsetzen.

Grüße,

M.B.

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(obigen Kommentar ignorieren)

mit rechts \( r(x) = \sin(x) \ln(\cos(x)) \) ergibt sich:

$$ \ln(f(x)) = r(x) $$

Ableiten:

$$ {f'(x) \over f(x)} = r'(x) $$

Umformen:

$$ f'(x) = f(x) \cdot r'(x) $$

Und für \( f(x) \) wieder die Funktion einsetzen.

Grüße,

M.B.

Answer 2

Hi,

$$ cos(x)^{sin(x) } \\ cos(x)=e^{ln(cos(x))} \\cos(x)^{sin(x) }=e^{ln(cos(x)^{sin(x)})}=e^{sin(x)\cdot ln(cos(x))}$$

Jetzt müsste es eigentlich leichter zu rechnen sein.

Gruß

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Jetzt habe ich es kapiert.

Answer 3

Verwende:

a^b=e^{lna^b} = e^{b*lna}