Summe von unendlich vielen einbeschriebenen Flächen (Quadraten) berechnen

Question

Das Thema sind Folgen / Reihen / Limes etc...

Ich habe folgende Aufgabestellung bei der ich nicht weiss wie ich vorgehen muss:

Hier mein Versuch das zu lösen. Es geht ja darum, die Summe aller Flächeninhalte zu berechnen. Da aber das ganze "ad infinitum" ist muss wohl der Limit berechnet werden oder?

Ich mein vorgehen Korrekt? Bzw. wie berechne ich den Limes einer Summe?

Answer 1

Die Summanden selbst:

s^2, (s/√2)^2 = s^2/2, (s/2)^2 = s^2/4,....

Zur Summe ohne Limes:

s^2 kannst du vor das Summenzeichen schreiben.

Dann hast du erst mal

f_(n)= s^2 *  ∑_(k=0)^n ( 1/2)^k

Nun kannst du im blauen Teil die Summenformel für Partialsummen von geometrische Reihen anwenden.

Dann das Total

f = lim_(n->∞) f_(n)  ausrechnen (Grenzwert).

Zur Kontrolle: Ich komme total auf f = 2 s^2. Es steht nirgends, dass man die Fläche des gegebenen Quadrates nicht mitzurechnen hat. 

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

"Nun kannst du im blauen Teil die Summenformel für Partialsummen von geometrische Reihen anwenden."

Verstehe ich dich Richtig dass ist die Formel:

G_{n =} ∑_k=1ⁿ = g₁(q^{-n -} 1 / q - 1)

Wie wende ich die aber auf eine Summe mit einer Potenz an?

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Zum blauen Teil: 

G_n = ∑_k=1ⁿ = g₁(qⁿ - 1) / (q - 1)  = 1* ((1/2)^n - 1)/(1/2 - 1) = (1-(1/2)^n)/(1/2) 

Diese Formel geht auch. g_(1) = 1 und q = 1/2 

Nun

f = lim_n->∞ f_n  =  lim_n->∞ s^2 (1-(1/2)^n)/(1/2)

= s^2  lim_n->∞  (1-(1/2)^n)/(1/2) 

= s^2 *  (1- 0)/(1/2) 

= s^2 * 2

= 2s^2