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Die Summe einer unendlichen Geometrischen Reihe beträgt 20, die Summe aus den Quadraten der Glieder 100. Berechne das erste Glied?
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$$\text{Sei } a_n=a\cdot q^n\text{ eine geometrische Folge und es gelte}$$$$\text{(1) }\sum_{k=0}^\infty a_k=a\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac a{1-q}=20$$$$\text{(2) }\sum_{k=0}^\infty a_k^2=a^2\sum_{k=0}^{\infty}(q^2)^k=\frac{a^2}{1-q^2}=100.$$$$\text{Löse (1) nach }a\text{ auf und setze in (2) ein}.$$$$\frac{\big(20(1-q)\big)^2}{1-q^2}=100\Leftrightarrow\frac{400(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=100\Leftrightarrow4\frac{1-q}{1+q}=1$$$$\text{Daraus folgt }q=\frac35\text{ und damit nach (1) }a=8.$$
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