Question

Seien A und B beliebige Mengen.

Beweisen sie, dass gilt:

(i) (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅

(ii) (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A

Können sie sich die Aussage jetzt mit einem Euler-Venn-Diagramm veranschaulichen?

Wenn ja, so versuchen sie diese Idee nun in einem Beweis umzusetzen.

Answer 1

(A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅

Sei x ∈ (A \ B) ∩ (A ∩ B)  dann gilt

x ∈ (A \ B)    und   x ∈  A ∩ B

⇒   (x ∈ A  und  x ∉ B )    und       (x ∈ A  und  x ∈ B ) 

⇒   x ∉ B    und     x ∈ B        Widerspruch !

Also gibt es in (A \ B) ∩ (A ∩ B) kein Element,  also

(A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅