Aufgabe:
Sei $$f: V \rightarrow V$$ ein Nilpotenter Endomorphismus eines K-VR V und sei $$n = dimV < \infin$$
a) Gilt $$f^k =0$$ und$$ f^{k-1} \neq 0 $$, so gibt es ein $$ v\in V$$ für das $$v, f(v), ..., f^{k-1}(v)$$ linear Unabhängig sind.
b) Zeigen Sie, dass f^n=0
Problem/Ansatz:
a) verstehe ich leider nicht ganz.
zu b)
Ich las versuchte etwas Skript zu lesen von meiner Professorin und unter einer Definition der Nilpotenz.
Unter der Definition stand folgendes :
$$ Entsprechend: V ein K-VR, f \in End(V) heißt Nipotent, falls f^i = f \circ ... \circ f =0 $$ für ein i aus den Natürlichen Zahlen.
Das mit der Nilpotenz habe ich wohl verstanden, unter der Musterlösung findet sich genau diese Stelle aus dem Skript.
Die Eigenschaft, dass f^n=0 ist, folgt aus der nilpotenten Eigenschaft der Abbildung die nach der Definition nach wiederholten Anwenden der Abbildung auf ein Element = 0 ist. Damit hätte man b) "gelöst".
Vielleicht tue ich mich mit a) schwerer als gedacht, kann mir wer vielleicht sagen, was ich genau da zu zeigen habe ?
Vielleicht geht mir dann eine Idee auf oder verstehe mehr den Hintergrund der dafür benötigt wird.
Vielen Dank
