Aussage wahr oder falsch

Question

Hi,

hab ein paar Probleme mathematische Aussagen zu verstehen und auf ihren Wahrheitsgehalt zu prüfen

Folgende Aussagen sind gegeben:

(1)  ∃ n ∈ ℕ : ∀ m ∈ ℕ n ≤ m
(2)  ∃ n ∈ ℕ : ∀ m ∈ ℕ m ≤ n
(3)  ∀ x,y,z ∈ ℝ : y - z ⇒ xy - xz
(4)  ∀ x ∈ ℝ :√(x²) - x

∃ n ∈ ℕ : ∀ m ∈ ℕ n ≤ m würde ich folgendermaßen lesen:
Es gibt mindestens ein n ∈ ℕ für das alle m ∈ ℕ größer oder gleich diesem n sind.

Wenn ich die Aussage jetzt negiere um sie einfach verstädnlich zu machen sind die beiden Aussagen dann äquivalent? Also (∃ n ∈ ℕ : ∀ m ∈ ℕ n ≤ m ⇔ ∀ n ∈ ℕ : ∃ m ∈ ℕ n > m) ? Dann wäre die Aussage ja
∀ n ∈ ℕ : ∃ m ∈ ℕ n > m, also für alle n ∈ ℕ gibt es mindestens ein m ∈ ℕ das kleiner als n ist. Das wäre aber falsch da: n = 1 ¬∃ m ∈ ℕ : m < n. Somit wäre Aussage (1) falsch?

∃ n ∈ ℕ : ∀ m ∈ ℕ m ≤ n würde ich auch negieren zu ∀n ∈ ℕ :  ∃ m ∈ ℕ m > n
Die Aussage wäre ja unter folgendem Beweis wahr:
Sie n ∈ N beliebig und m := n+1 -> m>n?

Aussage (3) und (4) sind für mich im hinteren Teil relativ unverständlich, wäre also hilfreich wenn mir jemand erklären könnte wie diese zu lesen sind?
∀ x,y,z ∈ ℝ : y - z ⇒ xy - xz
Für alle x,y,z ∈ ℝ gilt, wenn ? folgt ?
∀ x ∈ ℝ :√(x²) - x
Für alle x ∈ ℝ gibt es eine Wurzel aus (x²) - x?

Comments

(1)  Wähle n = 1.

Answer 1

> Es gibt mindestens ein n ∈ ℕ für das alle m ∈ ℕ größer oder gleich diesem n sind.

Das ist richtig.

> Wenn ich die Aussage jetzt negiere um sie einfach verstädnlich zu machen sind die beiden Aussagen dann äquivalent?

Nein. Eine Aussage und ihre Negation können nicht äquivalent sein. Beispiel: "3 ist kleiner als 5" und "3 ist nicht kleiner als 5" sind Negationen voneinander aber nur eine der beiden Aussagen ist wahr sein. Das ist grundsätzlich so.

Answer 2

Was du mit dem Negieren erreichen willst, verstehe ich nicht ganz und ich bin mir auch nicht ganz sicher wie man einen solchen Ausdruck negiert, aber ich stimme deiner Lesweise "Es gibt mindestens ein n ∈ ℕ für das alle m ∈ ℕ größer oder gleich diesem n sind" für die erste Aufgabe zu oder noch etwas anders formuliert: "Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich allen anderen natürlichen Zahlen ist". Diese Aussage ist offensichtlich wahr, weil alle natürlichen Zahlen größer oder gleich eins sind... ich schätze beim Negieren ist dir ein Fehler unterlaufen, muss die Ungleichheit nicht umgedreht werden?

Bei (2) wäre die Lesweise: "Es ex. eine natürliche Zahl, die größer ist als alle anderen natürlichen Zahlen" , was natürlich Unsinn ist, weil es unednlich viele natürliche Zahlen gibt und immer n+1 gebildet werden kann - die Aussage ist also falsch,

Aussage (3) und (4) machen auch für mich keinen Sinn - bist du sicher, dass statt den Minuszeichen keine Gleichheitszeichen stehen sollten?

Comments

yep da hab ich mich vertippt

(3) ∀ x,y,z ∈ ℝ : y = z ⇒ xy = xz
(4) ∀ x ∈ ℝ :√(x²) = x

heißt dann also soviel wie:
(3) Für alle x,y,z ∈ ℝ gilt, wenn y = z folgt xy = xz (wahr)
(4) Für all x ∈ ℝ gilt Wurzel aus x^2 = x (wahr)

bei dem negieren bin ich mir auch nicht wirklich sicher, scheint aufjedenfall nicht ganz zu stimmen

---

(3) ist wahr, stimmt. (wobei die Umkehrung xy=xz ⇒ y=z falsch wäre)

(4) wäre wahr, wenn x∈ℕ oder x∈ℝ⁺, für x∈ℝ gilt sie nicht - setze eine negative Zahl zur Probe ein.

---

da hast du natürlich recht, war wohl ein bisschen auf den linken Teil fixiert ;)

danke für die Antworten, hat mir aufjedenfall geholfen

mfg