Frage zur Definition einer konvergenten Reihe

Question

Welche der folgenden aussagen entspricht/entsprechen der Definition einer konvergenten Reihe? Wenn es Nichtentsprechungen gibt: Begründe warum nicht!

a.) a_n→a ⇔ ∀ε>0 ∃n₀∈ℕ:Betrag von (a_n-a) < ε ∀n≥n₀

b.)a_n→a ⇔ ∀n∈ℕ ∃ε>0: Betrag von (a_n-a)<ε

c.) In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen fast alle (d. h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder darin.

d.) In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen unendlich viele Folgeglieder.

Also es stimmen doch b und c oder? Aber wie kann ich die falschen Behauptungen begründen, dass sie falsch sind?

Answer 1

 

> Also es stimmen doch b und c oder? 

Es stimmen a) und c)

b.)a_n→a ⇔ ∀n∈ℕ ∃ε>0: Betrag von (a_n-a) <ε

Das stimmt bei jeder Folge: Wähle zu gegebenem n  jeweils ε = 2 * |a_n - a|

d.) In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen unendlich viele Folgeglieder.

Bei der Folge  1,2,1,2,1,2, ...   liegen sowohl in der Umgebung von 1 als auch in der Umgebung von 2 unendlich viele Folgenglieder, die Folge ist aber nicht konvergent.

Gruß Wolfgang