Ich soll beweisen, dass eine rationale Zahl q und eine irrationale Zahl i das Ergebnis von:
(r+i) ∈ ℝ\ℚ
und
wenn r ≠ 0
(r*i) ∈ ℝ\ℚ
Ich habe Ansätze, finde aber noch keine Lösung die vollständig scheint.
Eine rationale Zahl ist immer entweder eine Kommazahl die ended oder periodisch ist.
Eine Kommazahl die nicht periodisch ist und nicht endet ist immer eine irrationale Zahl.
Wenn ich auf die Zahl i dann r addiere hat die Zahl i immernoch unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Die Zahl r beeinflusst da nur die Anzahl der Nachkommastellen die sie selber hat. Kann man das irgendwie formell aufschreiben oder gilt diese Begründung als hinreichender Beweis? Gibt es eventuell eine andere Möglichkeit dies zu Beweisen?
Zur Mulitplikation habe ich überlegt, dass man die Zahlen als Kettenbruch darstellen kann und zeigen kann. Wenn der Kettenbruch nicht endet ist es immer eine irrationale Zahl wieder und wenn ein Kettenbruch endet ist sie entsprechend rational. Wenn ich nun zeigen könnte, dass der unendliche Kettenbruch mit jeder beliebigen rationalen multipliziert werden könnte und das Ergebnis dennoch ein nicht endender Kettenbruch wäre, könnte ich zeigen das (r*i) ∈ ℝ\ℚ.
Ein anderer Ansatz wäre wieder auf Basis der Nachkommawerte, dass eine periodische Zahl nicht eine nicht-periodische zur einer vollen Zahl ergänzen kann, aber dabei fehlt es genau dies mathematisch zu zeigen.
Das waren meine Ideen bisher wie ich es beweisen könnte und ich habe mich ein wenig fest gefahren. Ich würde mich über einen Anstoß und Rückmeldung von der bisherigen Arbeit freuen.
