Indexverschiebung Bruchzerlegung???

Question

Ich habe Probleme bei der Bruchzerlegung und komme deshalb bei der Aufgabe mit der Indexverschiebung nicht voran. Ich bitte um eure Hilfe bei der Aufgabe 5 und 6 (Teil B)

                                                                                                                                                                                 analysis übung 3.pdf (0,1 MB)

Comments

Ich zerlege dir mal den Bruch

1/(2·n + 1) · 1/(2·n - 1) = 1/(2·(2·n - 1)) - 1/(2·(2·n + 1))

Kommst du jetzt bei der Summe weiter ?

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Meine erste Frage dazu wäre erstmal : Wie kommt man auf die zerlegung bzw. wie geht man da vor?

und zweitens ich weiß, dass man jetzt die Summe von  1/(2·(2·n - 1)) - 1/(2·(2·n + 1)) "trennen " muss also zwei Summen daraus macht : einmal die Summe von 1/(2·(2·n - 1)) - der Summe von 1/(2·(2·n - 1)) ?! jedoch komme ich nach dem Schritt nicht mehr weiter wo die indexverschiebung kommen sollte..

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Zwei Brüche machst du über Partialbruchzerlegung. Such das mal bei Youtube. Ich bin dicher da findest du sehr gute Videos. Du kannst es dir auch vorrechnen lassen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

∑ (n = 1 bis N) (1/(2·n + 1)·(1/(2·n - 1)))

= ∑ (n = 1 bis N) (1/(2·(2·n - 1)) - 1/(2·(2·n + 1)))

= 1/2 * ∑ (n = 1 bis N) (1/(2·n - 1) - 1/(2·n + 1))

= 1/2 * ∑ (n = 1 bis N) (1/(2·n - 1)) - 1/2 * ∑ (n = 1 bis N) (1/(2·n + 1))

= 1/2 * ∑ (n = 0 bis N-1) (1/(2·(n + 1) - 1)) - 1/2 * ∑ (n = 1 bis N) (1/(2·n + 1))

= 1/2 * ∑ (n = 0 bis N-1) (1/(2·n + 1)) - 1/2 * ∑ (n = 1 bis N) (1/(2·n + 1))

= 1/2 * 1/(2·0 + 1) - 1/2 * (1/(2·N + 1))

= N/(2·N + 1)

Answer 1

Für eine Bruchzerlegung musst du zwei Terme A und B so finden, dass Folgendes gilt: $$\frac A{2n-1}+\frac B{2n+1}=\frac1{(2n-1)(2n+1)}.$$

Dazu multiplizierst du beide Seiten mit dem Nenner, den du zerlegen willst:

$$(2n+1)A+(2n-1)B=1. \Leftrightarrow 2nA+2nB=0 \wedge A-B=1$$

Dabei habe ich alle Terme mit n darin verglichen und alle Terme ohne n.

Daraus folgt: $(A=-B \wedge -B-B=1)\Leftrightarrow \left(B=-\frac 12 \wedge A=\frac 12\right)$.

Also: $$\frac 1{2(2n-1)}-\frac 1{2(2n+1)}=\frac1{(2n-1)(2n+1)}.$$

Dann hast du $$\sum_{n=1}^N\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^N\left(\frac 1{2(2n-1)}-\frac 1{2(2n+1)}\right)=$$ $$\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n-1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}=\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{2(2(n+1)-1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}$$

Mit der Indexverschiebung wollen wir erreichen, dass die beiden Summen links und rechts Summanden derselben Form haben, sodass wir sie fast alle kürzen können (diejenigen Indizes, die nur in einer Summe vorkommen, bleiben über). Dazu verschieben wir n=1, ..., N, indem wir von jeder Zahl 1 abziehen und dafür im Summanden n durch (n+1) ersetzen. Dann haben sich die Summanden nicht geändert, da 0+1=1, 1+1=2, ..., (N-1)+1=N.

Warum gerade diese Verschiebung: $2(2(n+1)-1)=2(2n+2-1)=2(2n+1).$

Schließlich: $$\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{2(2(n+1)-1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}=\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}=\frac1{2(0+1)}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\frac 1{2(2N-1)}$$

Die Terme in der Mitte sind gleich und kürzen sich deshalb weg:

$$\frac1{2(0+1)}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\frac 1{2(2N-1)}=\frac 12-\frac1{2(2N+1)}=\frac {(2N+1)-1}{2(2N+1)}=\frac{2N}{2(2N+1)}=\frac N{2N+1}.$$