Zu Zeigen Menge R ist ein kommutativer Ring der kein Körper ist

Question

ZZ. Menge  R:= { a/b : a,b ∈ ℤ, b ungerade} ist ein kommutativer Ring mit Einselement, der KEIN Körper ist.

Mit Erläuterung wäre ganz nett

Answer 1

Ich denke mal, es ist (R,+,*) mit der Addition und Multiplikation von Q eingeschränkt auf R gemeint?

Also Wohldefiniertheit: $$+\colon R\times R\rightarrow R\colon \left(\frac ab,\frac cd\right)\mapsto \frac{ad+bc}{bd}$$ \(+\) ist wohldefiniert, da für a,b,c,d aus Z ad+bc wieder in Z und für b,d ungerade b*d wieder ungerade ist. Damit ist für \(x,y \in R\colon+(x,y)=x+y\in R.\)

Analog für die Multiplikation (für a,c in Z ist a*c wieder in Z).

Als Nächstes Ringdefinition:

1. (R,+) abelsche Gruppe:

Assoziativität von \(+\): $$\left(\frac ab + \frac cd\right)+\frac ef=\frac ab+\left(\frac cd + \frac ef\right)$$ $$\frac{ad+bc}{bd}+\frac ef=\frac ab + \frac {cf+de}{df}$$ $$\frac{(ad+bc)f+bde}{bdf}=\frac {adf+b(cf+de)}{bdf}$$ $$\frac{adf+bcf+bde}{bdf}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf}$$

Existenz eines neutralen Elements: $$\frac ab + \frac 01 = \frac 01 + \frac ab = \frac ab$$

Existenz der additiven Inversen: $$\frac ab + \frac {-a}b = \frac{-a}b+\frac ab = \frac 01$$

a,c,e beliebig in Z, b,d,f ungerade, ansonsten beliebig in Z.

(R,+) abelsch: In der Definition der Addition die Argumente vertauschen und man kommt auf dasselbe Ergebnis.

2. (R,*) kommutative Halbgruppe mit Eins:

* assoziativ: $$\left(\frac ab\frac cd\right)\frac ef=\frac ab\left(\frac cd\frac ef\right)\Leftrightarrow\frac{ace}{bdf}=\frac{ace}{bdf}$$

* kommutativ: $$\frac ab\frac cd=\frac cd\frac ab\Leftrightarrow \frac {ac}{bd}=\frac {ca}{db} \Leftrightarrow \frac {ac}{bd}=\frac {ac}{bd}$$

* hat neutrales Element: $$\frac ab\frac 11=\frac 11\frac ab=\frac ab$$

3. + und * erfüllen die linken und rechten Distributivgesetze:

$$\frac ab\left(\frac cd+\frac ef\right)=\frac ab\frac cd+\frac ab\frac ef\Leftrightarrow \frac ab\frac{cf+de}{df}=\frac{ac}{bd}+\frac{ae}{bf}$$ $$\frac{a(cf+de)}{bdf}=\frac{acbf+bdae}{bdbf}\Leftrightarrow \frac{acf+ade}{bdf}=\frac{acf+ade}{bdf}$$

Rechtes Distributivgesetz klar, da * kommutativ ist und das linke DG gilt.

Für einen Körper fehlt also noch die Existenz eines multiplikativen inversen Elementes für jedes Element in R. Wir müssen also ein Element finden, dessen multiplikative Inverse in \(\mathbb Q\setminus R\) liegt.

Comments

das Q eingeschränkt auf R ist steht nicht in der Aufgabe, aber so wie ich das sehe ist es ja zwangsläufig notwenidig dadurch dass man das ja für a/b zeigen soll.

Kannst du mir erklären wie du auf deine Abbildungsvorschrift kommst? Bzw. wieso man die so schreiben darf?

(ab,cd)↦ad+bcbd

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Weil mir war klar das ich dich Aximoe überprüfen muss die ein Ring benötigt aber ich hatte eben nur den Term a/b und damit kann ich ja schlecht was zeigen.

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Wenn keine andere Addition oder Multiplikation gegeben ist, wird wohl die gemeint sein. Man braucht für einen Ring immer auch zwei Funktionen, nicht nur die Menge. Man lässt die aber aus Faulheit weg, wenns "klar" ist.

Das ist die normale Addition rationaler Zahlen:
$$\frac 12+\frac23=\frac{1\cdot3+2\cdot2}{2\cdot3}=\frac76.$$

Und weil man jedes Element in R nach Konstruktion von R so schreiben kann (a und b ganze Zahlen, b ungerade), kann man das auch in der Funktionsvorschrift so schreiben. Man muss nur aufpassen, dass jedes Element des Definitionsbereichs so geschrieben werden kann, was ja zutrifft.