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(b) Es sei \( R \neq\{0\} \) ein kommutativer Ring ohne Nullteiler. Zeige: Ist \( R \) kein Körper, so ist \( R \) unendlich.


 kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Weiß nicht wie ich die angehen soll.


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Beweis 1 aus http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_K%C3%B6rper:_Endlicher_Integrit%C3%A4tsbereich ist gut zu verstehen:

Aus "\( R \) ist endlich und ohne Nullteiler" muss folgen "\( R \) ist ein Körper".

Für \( a \neq 0 \) in \( R \) muss die Existenz eines multiplikativ Inversen gezeigt werden.

Die Multiplikation mit dem Element \( a \) ist in \( R \) injektiv: Aus \( ax = ay\), sprich \( a(x - y) = 0 \), folgt wegen der Nullteilerfreiheit, dass \( x - y = 0 \) bzw. \( x = y \) ist.

Da die Multiplikation mit \( a \) ein Endomorphismus auf \( R \) ist, folgt aus der Injektivität die Surjektivität (*). Insbesondere wird durch Multiplikation mit \( a \) auf die \( 1 \) abgebildet. Es gibt also ein \( b \in R \) mit

\( ab = 1 \).

Damit ist \( a \) invertierbar und \( R \) ist ein Körper.

Mister

(*) Ein Endomorphismus \( R \rightarrow R \) ist entsprechend dieser Notation ein Homomorphismus von \( R \) in sich selbst. Bild- und Zielbereich sind gleich. Trivialerweise folgt daraus deren Gleichmächtigkeit.

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