zu zeigen: kein p∈ℕ existiert mit n<p<n+1 für n∈ℕ.

Question

Die Aufgabe lautet:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass kein p∈ℕ existiert mit n<p<n+1 für n∈ℕ.

Comments

Diese Aufgabenstellung hängt stark davon ab, wie ihr die natürlichen Zahlen überhaupt eingeführt habt und kann dann je nach Definition sehr einfach bis sehr umständlich sein.

Answer 1

1.  zwischen 0 und 1 gibt es keine nat. Zahl.  

Vermutlich hattet ihr ja sowas wie:0 ist die kleinste nat. Zahl und zu

jedem n ist n+1 auch eine  und vielleicht auch

sowas wie IN ist eine Teilmenge von IR ( also Rechengesetze und sowas ) .

Wäre also  p zwischen 0 und 1 eine nat. Zahl , dann wäre wegen p>0 der

Vorgänge p-1 auch eine  aber  wegen  der Rechengesetze

wäre    -1  < p-1  < 0   und  damit  p-1 eine, die kleiner als 0 ist. Widerspruch !

2.  keine nat Zahl zwischen  n und n+1  ⇒  keine zwischen

n+1 und n+2   , wenn die Rechengesetze gelten auch kein Problem:

           n+1 <  p  <  n+2      |  -1

⇒         n < p-1 < n+1,  also der Vorgänger vonp wäre zwischen n und n+1 . 

Widerspruch zur  Induktionsannahme.