Untersuchen Sie ob die Mengen beschränkt nach oben oder unten sind

Question

Untersuchen Sie, ob die unter a)-c) definierten  Mengen M reeller Zahlen nach oben oder unten beschränkt sind.  Wenn ja, dann bestimmen Sie gegebenenfalls sup M und inf M. Existieren dann auch max M oder min M?

Answer 1

a) Du kannst die Menge durch die Vereinigung zweier Teilmengen darstellen (n gerade bzw. ungerade):

$$M:=\{x\in \mathbb{R}:x=1-(-1)^n/n,n\in\mathbb{N} \}\\=\{x\in \mathbb{R}:x=1-1/2k,k\in\mathbb{N} \}\cup\{x\in \mathbb{R}:x=1-1/(2k-1),k\in\mathbb{N} \}={ M }_{ 1 }\cup{ M }_{ 2 }$$

Dann ist sup(M₁)=1 und inf(M₁)=1/2, ein Maximum gibt es nicht und min(M₁)=1/2

Für M₂ gilt: sup(M₂)=2=max(M₂),  inf(M₂)=1, ein Minimum gibt es nicht.

---> sup(M)=max(M)=2, inf(M)=min(M)=1/2