Untersuchen sie ob die Mengen nach oben oer unten beschränkt ist

Question

Zeigen sie ob die Mengen nach oben oder unten beschränkt sind. Wenn ja bestimmen sie sup M und inf M

M:= { x∈ℝ : x²+2x+2 > 5 , x<0}

M:={x∈ℝ :x= t+1/t , 0<t≤10, t ∈ℝ

bei der ersten Menge kam ich auf die zahl -3,1 als untere schranke und sie ist auch die kleinste negative Zahl x für die der Term größer 5 ist. Jedoch kam ich nicht auf eine obere schranke da ich ja mein negatives x beliebig klein machen kann z.B -100 und es immer größer 5 sein wird.

kann mir jemadn weiter helfen

Answer 1

bei der ersten Menge kam ich auf die zahl -3,1 als untere schranke

Da stimmt was nicht  ( -3,1)2 + 2*(-3,1) + 2 = 5,41 > 5  und  -3,1 < 0

also gehört -3,1 zu der Menge und ist keine Schranke.

Probier mal so:


x²+2x+2 > 5    ∧    x<0

⇔   x²+2x - 3 > 0     ∧    x<0


⇔   (x - 1 )(x + 3 )  > 0     ∧    x<0


⇔  ( (x > 1 )∧ (x > -  3 )      v     (x < 1 )∧ (x < -  3 )   )  ∧    x<0

Das rote kann nicht eintreten, da  x<0



⇔     (x < 1 )   ∧    (x < -  3 )  ∧    x<0

Das alles zusammen ist nur erfüllt für   x < -3  ,  also ist

-3  das Supremum. 

Und die Menge ist nach unten nicht beschränkt, sondern besteht aus

allen reellen Zahlen, die kleiner als   - 3 sind.