Bedingung für komplexe Zahlen

Question

Welche komplexen Zahlen z erfüllen die folgende Bedingung:

IzI= I Re(z)I+ I Im(z)I

Leider weiss ich nicht wie ich das hier zeigen soll, hat jemand eine Idee?

vg

Answer 1

IzI= I Re(z)I+ I Im(z)I

für z = a + bi heißt das

√( a² + b² ) =  | a | + | b |      da alles nicht negativ ist,

ist  Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

⇔   a² + b² =     (  | a | + | b |  ) ² 

⇔   a² + b² =       | a |² +   2|a| * | b |    + | b| ² 

⇔     0  =         2|a| * | b |   

Also gilt es nur wenn a=0  oder b=0  also

für alle komplexen Zahlen

mit Realteil=0 oder Im-Teil=0.