Für welche a,b ist die Funktion injektiv?

Question

ich habe eine Frage wie ich bei folgender Aufgabe vorgehe.

Ich soll für eine gegebene Abbildung bestimmen, für welche Parameter a,b diese Abbildung injektiv ist.

genauer: Z->Z, n->an^2+bn mit a aus Z/{0} und b aus Z. Z sind hier die ganzen Zahlen.

Wie genau zeige ich hier die Injektivität in Abhängigkeit dieser Parameter?

f(a_1)=f(a_2) mit a_1=a_2 muss ja gelten. Aber ich weiß nicht so recht wie ich das auf diese Aufgabe anwende.

Wäre für einen kleinen Denkanstoß dankbar

Answer 1

f(n) = an²+bn       und  wegen a ungleich 0

      =  a * ( n²+b/a * n  )


=   a * ( n²+b/a * n   +  (b/(2a))²   -  (b/(2a))²    )

=   a * (    (n+b/(2a)  )²   -  (b/(2a))²    )


=   a * ( n+b/(2a)  )²   -  b/(4a)   )

Für n aus IR wäre der Graph eine Parabel mit Scheitel (   -b/(2a)  ;  -b / 4a ) )

Damit es auf dem Punkte mit gleicher y-Koordinate und einer x-Koordinate aus Z

gibt, muss der x-Wert des Scheitels ein Vielfaches von 0,5 sein.

Also  -b/(2a) =  n*(1/2) 

         bzw  -b/a = n    oder  b/a = n

Also muss  b/a eine ganze Zahl sein, also   a ein Teiler von b.

Comments

Hi danke für deine Lösung.Leider Verstehe ich die irgendwie nicht... kannst du Sie vielleicht ein bisschen genauer erklären?Vielen Dank schonmal :)

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wenn es nicht Injektiv ist, muss es verschiedene x-Werte
mit gleichem y-Wert geben.

D.h. auf einer Parabel verschiedene Punkte

auf der gleichen Höhe.

Das gibt es für x aus IR immer, aber für x aus Z nur,

wenn die x-Werte vom x-Wert des Scheitelpunktes gleich weit entfernt sind.

Das geht nur, wenn der Scheitelpunkt einen x-Wert hat, der ein Vielfaches

von 0,5 ist.  Das ist bei a ist Teiler von b der Fall.

Also ist es für   a kein Teiler von b Injektiv.

Zeichne dir mal so eine Parabel.